Sous-groupe de Frattini
dans Algèbre
Bonjour,
J'ai une lacune dans mon livre (il manque une lettre à une formule), du coup je me demande si c'est :
Montrer que si H est normal dans G, alors le sous-groupe de Frattini de H est inclus dans le sous-groupe de Frattini de G.
Est-ce vrai ?
Où se trouvent les commandes Latex dans le forum ?
Merci d'avance.
J'ai une lacune dans mon livre (il manque une lettre à une formule), du coup je me demande si c'est :
Montrer que si H est normal dans G, alors le sous-groupe de Frattini de H est inclus dans le sous-groupe de Frattini de G.
Est-ce vrai ?
Où se trouvent les commandes Latex dans le forum ?
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Réponses
C’est fait dans le livre d’Alain en page 97
Exercice 1iii)
Avec solution page 377
CDT
Yann
Oui le groupe est tel que sous-groupe propre de G est de type fini, donc tout sous-groupe propre de G est inclus dans un sous-groupe maximal, donc c'est exactement cela.
J'ai essayé de le démontrer avec les éléments superflus, mais ça n'a pas l'air de marcher.
Tu dois montrer que $\Phi(H)$ est inclus dans tout sous-groupe maximal de $G$ soit donc $M$ un tel sous-groupe.
Puisque $\Phi(H)$ est normal dans $G$ (à justifier !), $\Phi(H)M$ est un sous-groupe de $G$, qui contient $M$. Si on procède par l'absurde, on peut supposer que ce groupe est $G$.
Il faut ensuite l'intersecter avec $H$, et voir le lien avec $M\cap H$, puis finalement voir que celui-là est un sous-groupe propre de $H$ au vu des hypothèses.
À partir de là on peut conclure rapidement.
Mais globalement ce n'est pas un raisonnement trivialissime (pas pour moi en tout cas)
Oui cette propriété est vraie : pour tout groupe $G$ fini, si $H\lhd G$ alors $\Phi(H)\subset \Phi(G)$.
Comme indiqué par Yann, c'est démontré dans mon livre, sous forme d'exercice (ex II-1 page 97).
Ainsi, dans un groupe commutatif l'application $\Phi : \mathscr L(G)\to\mathscr L(G)$ (où $\mathscr L(G)$ est le treillis des sous-groupes de $G$) qui à un sous-groupe donne son sous-groupe de Frattini est une application croissante entre treillis ($H\subset K \Rightarrow \Phi(H)\subset\Phi(K)$).
On peut aller un peu plus loin (Exercice VII-2.3 page 246 de mon livre).
Dans un groupe nilpotent (qui est produit direct de ses $p$-Sylow), la condition de normalité de $H$ dans $G$ n'est plus nécessaire. Tout les sous-groupes (normaux ou non) vérifient $H\subset G \Rightarrow \Phi(H)\subset\Phi(G)$.
Alain.
En complément de mon message précédent, on peut noter que pour que $H\subset G \Rightarrow \Phi(H)\subset\Phi(G)$, pour tout sous-groupe $H$, la condition $G$ est un groupe nilpotent est nécessaire.
Un contre-exemple arrive avec le groupe $\mathfrak S_4$ qui n'est pas nilpotent car il possède trois $2$-Sylow, d'ordre $8$ et de type $\mathcal D_4$. Ceux-ci admettent chacun un sous-groupe de Frattini $\Phi(\mathcal D_4)\simeq C_2$ d'ordre $2$, alors que le Frattini $\Phi(\mathfrak S_4)=\{1\}$.
Alain