Introduction Galois

Bonjour
Je viens de commencer une introduction à la théorie de Galois (je n'ai quasiment aucune connaissance sur ce sujet). Je précise que le document suit une approche historique et introduit donc le groupe de Galois de façon non standard.

Voici la définition. Soit $K$ un corps et $P \in K[X]$. Soient $x_1 , x_2 , \ldots , x_p$ les $p$ racines de $P$ dans la clôture algébrique de $K$. En réordonnant les racines, on note $x_1 , \ldots , x_n$ les $n$ racines distinctes. On appelle groupe de Galois de $P$ sur $K$ et on note $Gal_K (P)$ le sous-groupe de $\mathfrak S_n$ tel que pour tout $R \in K[x_1, \ldots , x_n]$ tel que $R(x_1 , \ldots , x_n) = 0$ : $$ \sigma R(x_1 , \ldots , x_n) = R(x_{\sigma(1)} ,\ldots , x_{\sigma(n)}) = 0 \iff \sigma \in Gal_K (P).
$$ Un élément de $Gal_K (P)$ est appelé une bonne permutation.

Voilà donc je comprends globalement la définition en interprétant $R(x_1 , \ldots , x_n) = 0$ comme des relations entre les racines. Le problème c'est qu'ensuite il est dit
"On observe déjà que si $x$ est une racine de $P$ qui appartient au corps de départ, elle reste forcément invariante par toute bonne permutation".
Cela ne m'est pas évident même si ça l'est certainement. Ca voudrait dire que pour tout $\sigma \in Gal_K (P)$ et pour toute racine $x_i \in K$, $x_{\sigma(i)} = x_i$. J'ai compris que dans le cas où un $x_i \in K$, alors il 'rentre' dans les coefficients de $R$ mais je n'arrive quand même pas à me figurer pourquoi il est alors invariant par action de $Gal_K (P)$ ...
Merci d'avance !