Groupe fini

Math912
Math912
dans Algèbre
Bonjour
Je cherchais un exo et je suis bloqué, voici l'exercice.

Soient G un groupe fini de cardinal n et k un entier naturel tel que PGCD(k,n)=1
Montrer que l’application phi : G -> G , x -> x^k est une bijection.

J'ai écrit [large]B[/large]ézout et j'ai x = x^(uk+vn). J'ai l'impression qu'il y a une information sur l'ordre que je ne décèle pas.
Merci par d'avance pour votre aide.

[Étienne Bézout (1730-1783) prend toujours une majuscule. AD]

Réponses

  • soland
    soland
    Si $x^k=e$ , quel est l'ordre du sous-groupe engendré par $x$ ?
  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Salut,
    Tu dois te rappeler ce que dit le théorème de Lagrange et y faire explicitement appel. Cela fait, tu constateras qu'avec ton identité de Bézout appliqué en exposant, tu as donné la réciproque de $x\mapsto x^k$.
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    Une proposition de réponse (qui utilise aussi Lagrange, sans Bézout):

    $\phi$ est un automorphisme de $G$, dont le noyau $\ker(\phi)$ est exactement l'ensemble des éléments de $G$ dont l'ordre divise $k$.
    D'une part $k\wedge n=1$ donc ces éléments ont un ordre premier avec $n$, et d'autre part (théorème de Lagrange) $ord(x) \mid n$, donc on en conclut que $\ker(\phi)=\{1\}$ (le groupe trivial), et l'application est injective.
    Par argument de dimension, elle est donc surjective et ainsi bijective.
  • Poirot
    Poirot
    Argument de cardinalité, plutôt que de dimension.
  • Math Coss
    Math Coss
    Attention, malgré son nom, l'application $\phi$ n'est pas un morphisme en général si $G$ n'est pas abélien.

    C'est moins grave mais côté vocabulaire, deux problèmes également : d'une part, le nom d'automorphisme est de plus réservé aux morphismes bijectifs d'un groupe dans un autre : le noyau d'un tel machin est nécessairement trivial ; d'autre part, comme l'a fait remarquer Poirot, il n'y a pas de dimension dans cette histoire.
  • Math912
    Math912
    Merci pour toutes ces réponses ,

    Polka je ne saisit pas bien pourquoi on peut dire que le noyau est composé exactement de l'ensemble des éléments de G dont l'ordre divise k ?

    Pour les autres réponses il me suffirait donc de trouver un sous groupe et utiliser le fait que n soit divisible par l'ordre du sous-groupe.
    Comment trouver l'ordre de ce dit sous groupe engendré par x ? comme le groupe est fini j'ai ordre de x inférieur où égal à n mais je ne vois pas bien comment être plus précis .
  • JLT
    JLT
    Le plus simple est d'expliciter la bijection réciproque $\psi(x)=x^u$.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonsoir,

    L'on sait qu'il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $k\,u+n\,v=1$. Du fait que $G$ est fini, il suffit de montrer que $\varphi$ est injective. Soit donc $x$, $y\in{G}$ tels que $\varphi(x)=\varphi(y)$. Ainsi obtient-on $x^k=y^k$, soit $x^{k\,u}=\left(x^k\right)^u=\left(y^k\right)^u=y^{k\,u}$, de sorte que, de $x^{k\,u}=x^{k\,u}\,e_G=x^{k\,u}\,\left(x^n\right)^v=x^{k\,u+n\,v}=x$ et clairement de $y^{k\,u}=y^{k\,u+n\,v}=y$, il vient que $x=y$.

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    Merci à Poirot et Math Cross pour les remarques (importantes) !
    Je commence doucement à me mettre en préparation pour l'agrégation 2021, donc vous pouvez être "sévères" !
  • Math912
    Math912
    Merci pour cette réponse .
    Le point que je ne saisis pas (peut être une lacune de cours je ne sais pas ) c'est qu'on dit $(x^n)^v $ vaut le neutre .
    Mais si mettons notre élement x composait un sous groupe tel que {1,x,x^2,...,x^(n-2) } par exemple on n'aurait pas x^n vaut le neutre .
    Ce point reste assez obscur pour moi .
  • michael
    michael
    L'ordre d'un élément $x$ d'un groupe $G$ est l'ordre du sous-groupe engendré par $x$.
    Et on sait (théorème de Lagrange) que l'ordre de tout sous-groupe $H$ d'un groupe $G$ divise l'ordre du groupe $G$.
    En particulier, l'ordre de $x$ divise l'ordre de $G$.
    Edit : Par conséquent, dans le cas que tu proposes, on aurait $x$ d'ordre $n-1$ et $n-1$ divise $n$. Et $x^n$ serait également égal au neutre.
    De toute façon, dans un groupe fini $G$ d'ordre $n$; pour tout $x \in G$, $x^n =e$ (où $e$ désigne le neutre de $G$).

    Par conséquent, dans le cas que tu proposes, on aurait $x^{n-2}$ divise $n$ et on pourrait donc écrire $\left( x^n \right)^v = \left( x^{k(n-2)} \right)^v = \left( \left( x^{n-2} \right)^{k} \right)^v = \left( e^{k} \right)^v = e$ pour un certain $k \in \mathbb{N}$ (où $e$ désigne le neutre du groupe $G$).
  • Math912
    Math912
    Merci je pense avoir compris.

    En fait je me focalisais sur le fait que $x^n =e$ donc que $n$ soit l'ordre mais il ne l'est pas forcément.
    L'ordre sera forcément inférieur ou égal à $n $. Si c'est $n$ c'est terminé. Sinon $ord(x) = d$ avec $d<n$ et $kd = n$ (avec Lagrange).
    Donc $e = x^d = (x^d)^k = x^n $
    Donc $x^n = e $.
    Merci de m'avoir éclairé et n'hésitez pas à me corriger si coquilles ou erreurs.

    [En $\LaTeX$, c'est toutes les expressions mathématiques que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
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