Théorème 5/8 (proba de commutativité)

Bonjour,
j'écris ce message pour vous partager un résultat que je trouve rigolo et qui n'est pas si connu que cela: le théorème 5/8.

La question est : quelle est la probabilité que deux éléments choisis au hasard dans un groupe $G$ fini commutent ?

Autrement dit on regarde $$
p(G) = \frac{1}{\#\, G^2} \big\{ (g,g') \in G^2 \mid gg'=g'g \big\}.
$$ Il est clair que $p(G) = 1$ si et seulement si $G$ est abélien. Et si $G$ n'est pas abélien?

Théorème. Si $G$ n'est pas abélien, alors $p(G) \leq \frac{5}{8}$.
Autrement dit, dans un groupe non abélien, la probabilité que deux éléments choisis au hasard commutent est inférieure ou égale à $\frac{5}{8}$ (on peut montrer que cette borne est atteinte, par exemple pour le groupe diédral d'ordre 8).

Démonstration. On procède en plusieurs étapes.
Étape 1. Soit $Z_G$ le centre de $G$ (le sous-groupe normal des éléments de $G$ qui commutent avec tous les éléments de $G$). Comme $G$ n'est pas abélien, $Z_G \neq G$ donc $[G \colon Z_G] \geq 2$. Si $[G \colon Z_G] = 2$, alors $G/Z_G$ est isomorphe à $\Z/2\Z$ qui est cyclique, ce qui implique que $G$ est abélien, ce qui n'est pas possible. De même, si $[G \colon Z_G] = 3$, alors $G/Z_G$ est isomorphe à $\Z/3\Z$ qui est cyclique, ce qui implique aussi que $G$ est abélien. Finalement, $[G \colon Z_G] \geq 4$, autrement dit $$
\# \, Z_G \leq \frac{\#\,G}{4}.

$$ Étape 2. Pour $g \in G$, soit $C(g)$ le centralisateur de $g$, c'est-à-dire le sous-groupe des éléments de $G$ qui commutent avec $g$. Si $g$ n'est pas dans $Z(G)$ (possible car $G$ n'est pas abélien), $C(g) \neq G$ donc d'après le théorème de Lagrange, $\#\, C(g) \leq \frac{\#\, G}{2}$, autrement dit $$
\# \forall g \in G \setminus Z_G,\quad \#\,C(g) \leq \frac{\#\,G}{2}.

$$ Étape 3. Deux éléments $g$ et $g'$ de $G$ commutent si et seulement si $g' \in C(g)$ d'où $$
\big\{ (g,g') \in G^2 \colon gg'=g'g \big\} = \bigcup_{g \in G} \big( \{g\} \times C(g) \big)
$$ et donc $$
p(G) \leq \frac{1}{\#\, G^2} \sum_{g \in G} \#\,C(G) = \frac{1}{\#\, G^2} \sum_{g \in Z_G} \#\,C(g)+ \frac{1}{\#\, G^2} \sum_{g \in G \setminus Z_G} \#\,C(g).
$$ Or, si $g \in Z_G$, on a $C(g) = G$ donc $$
\frac{1}{\#\, G^2} \sum_{g \in Z_G} \#\,C(g) = \frac{1}{\#\, G^2} \sum_{g \in Z_G} \#\,G=\frac{\#\,Z_g}{\# \,G}.
$$ D'après le résultat de l'étape 2, $$
p(G) \leq \frac{\#\,Z_G}{\#\,G} + \frac{1}{2\,\# G} \#( G \setminus Z) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{\#\,Z_G}{\#\,G}
$$ et d'après le résultat de l'étape 1, $$
p(G) \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{8}.

$$ Il y a sûrement des démonstrations utilisant des outils plus savants...