Polynôme caractéristique

Salut,

Je trouve tes notations avec les "XA" assez étranges, mais passons. Tu as normalement un théorème qui te dis que les polynômes caractéristiques sont des polynômes annulateurs (le théorème de Cayley-Hamilton) et par ailleurs que tout polynôme annulateur est multiple du polynôme minimal.
Il se trouve aussi que toutes les racines du polynôme caractéristique sont des racines du polynôme minimal (c'est donc assez facile à traiter pour un polynôme caractéristique scindé aux racines simples).

Pour la question 2... Non, pas du tout. Retourne sur les définitions avant de passer au reste (je ne sais pas si tu te rends compte de l'énormité). Par ailleurs, on ne t'aurait pas donné ces exercices sans t'avoir enseigné un certains nombres de propriétés avant (j'en ai résumé certaines).

Donc : au taf !

Bonjour.

Il y a une assez grosse différence entre le khi grec : $\chi$ et le X latin $X$. Écrire l'un pour l'autre revient à ne pas vouloir être compris.

Cordialement.

Bonjour,

Que dire du degré du polynôme caractéristique d'une matrice ?

Cordialement,

Bonjour,

une racine $r$ de $\chi_B$ est une valeur propre de $B$, par conséquent il existe $X$ non-nul tel que $BX=rX$.....
Partant de là, tu devrais trouver les valeurs possibles de $r$...Après connaissant $\chi_B$ et ses hypothétiques racines, tu devrais pouvoir en déduire les formes possibles de $\chi_B$.

A+

F.

Marc A a écrit:

(Le deg d'un polynôme carctéristique d'une matrice carré de taille n est égal à n ?)

Oui, ça t'a été dit ici.

Marc A a écrit:

Pour la 1) Je trouve le polynôme caractéristique de A est $\chi$_A(X) = - (X-1)(X-2)(X-3)

OK, admettons, je n'ai pas refait les calculs.

Marc A a écrit:

Pour la 2) Je souhaite dire qu'un polynôme annulateur de A est P(X) = (X-1)(X-2)(X-3)

On a donc P(A) = 0. Or B² = 0 donc P(B²) = 0, donc que P(X²) est un polynome annulateur de B et ensuite que P(X²) = (X-1)(X+1)(X-$\sqrt{2}$)(X+$\sqrt{2}$)(X-$\sqrt{3}$)(X+$\sqrt{3}$) est scindé et donc B est diagonalisable.

Qu'est-ce qui te permet d'écrire $B^2 = 0$ ?
Quel résultat du cours te permet d'écrire quelque chose comme : "$P \left( B^2 \right) = 0$ donc $P \left( X^2 \right)$ est un polynôme annulateur de $B^2$" ?

Comme $P$ est un polynôme annulateur de $A$ (c'est le théorème de Cayley-Hamilton, comme indiqué ici), c'est aussi un polynôme annulateur de $B^2$ (puisque $A = B^2$). Mais pourquoi $P(X^2)$ serait un polynôme annulateur de $B^2$ ?
Essayons avec une matrice $1 \times 1$ pour voir.
On prend la matrice $A=(4)$. On a donc $B^2 = A$ en prenant $B=(2)$ (par exemple).
$P(X)=X - 4$ est annulateur de $A$ (et donc de $B^2$), d'où $P \left( B^2 \right) = 0$, mais $P\left(X^2 \right)=X^2 - 4$ n'est pas annulateur de $B^2$.

Bonjour,

Quand on cherche un polynôme annulateur, on espère qu’il soit de degré « petit », et dans l’idéal s’il est scindé à racines simples la matrice est diagonalisable.
Relis en effet le message de ThierryPOMA, il te précise comment savoir que B est diagonalisable.