Mort aux déterminants

Ce n'est pas la première fois que je vois ce sujet de discussion sur le forum. Voilà ce que j'ai à en dire :

1) Quand j'étais étudiant, le déterminant était une des notions qui me dérangeait le plus, parce que sa définition est complètement "parachutée". Quand on est en L1, et qu'on commence seulement à intégrer que l'algèbre linéaire c'est un truc avec des combinaisons linéaires partout, la définition "polynomiale" du déterminant sort vraiment de nulle part (elle ne se connecte à rien de ce qu'on a déjà vu à ce moment-là), et la définition "l'espace des formes multilinéaires alternées est de dimension $1$"... ben, elle sort aussi un peu de nulle part, on découvre à peine l'algèbre unilinéaire et là on fait artificiellement un immense bond en avant dans la théorie juste pour "débloquer" cette notion de déterminant. Le déterminant sort de nulle part, mais c'est un outil de calcul, donc facile à utiliser, et on peut montrer que tout ce qui a besoin de marcher avec le déterminant marche effectivement. Même si, encore une fois, en L1 les preuves des propriétés du déterminant sont très difficiles à comprendre. Comme l'a dit Maxtimax, le déterminant apparaît assez naturellement en algèbre multilinéaire quand on s'amuse avec les algèbres extérieures (lien pour les néophytes qui lisent ce fil), mais personne ne fait ça en L1.

2) Le déterminant permet de démontrer une tonne de choses rapidement, par des calculs abstraits (racines de polynômes). Mais du coup, ben, c'est calculatoire, et pas visuel, pas géométrique*. C'est probablement pour ça que l'auteur de l'article estime que c'est "moins intuitif"... et je suis plutôt d'accord sur ce point-là.

3) Deux preuves valent mieux qu'une, donc si l'auteur de l'article arrive à démontrer plein de choses, qui sont le plus souvent bazardées à coups de calculs de déterminants, SANS déterminants, ben, tant mieux, autant voir les deux preuves. Dans un cours, autant commencer par la preuve la plus simple d'un point de vue "outils théoriques nécessaires" (donc sans déterminants) puis redémontrer les choses à coups de déterminants plus tard pour montrer que ça marche et pour s'exercer sur le nouvel outil.

*en L1, je pense qu'aucun étudiant n'a une "idée géométrique" de la tronche de l'ensemble des racines d'un polynôme à coefficients complexes. C'est un truc auquel moi, je m'habitue doucement, mais ce n'est pas comme si j'y voyais très clair. Je pense que c'est difficile de faire un lien géométriquement évident entre les axes sur lesquels une application linéaire agit comme une homothétie, et les zéros d'un polynôme dans le plan complexe. Cela dit, si quelqu'un peut me montrer comment établir naturellement un lien visuel entre les deux, ça m'intéresse.

C'est vrai que la notion de volume est Ô combien peu naturelle. :-D

Le déterminant d'une famille de vecteurs, c'est le volume du parallelotope qu'elles supportent, affectés d'un signe en fonction de l'orientation de la famille par rapport à une base choisie à l'avance.
Le determinant d'un endormorphisme c'est l'effet de l'action de cet endomorphisme sur le volume en question.
On comprend aisément qu'un endomorphisme qui "aplatit" un paralleleotope formé par une base (i.e qui lui donne un volume nul), envoie l'un des vecteurs sur une combinaison des autres.

Il me semble que c'est en troisième que l'on voit que le volume est n-linéaire (avec n=2 ou 3 bien entendu) i.e si l'on multiplie les longueurs d'un parallelotope par $(a_1,...,a_p)$ alors le volume est multiplié par $a_1...a_p$, l'additivité est peut être le moins intuitif et nécessite un dessin, finalement c'est la même idée que le calcul de l'aire d'un parallélogramme.

A partir de la et à partir du moment où on décide de parler de volume orienté, la notion de déterminant devient quand même assez "brûlante" à introduire.

Avec au passage une jolie intuition de pourquoi le théorème de changement de variable dans une intégrale multiple fait apparaître le jacobien, qui agit comme un "multiplicateur de volume infinitésimal", et qui explique le lien avec les "volumes élémentaires" du type, $rd\theta r\sin(\theta)d\phi dr$ que l'on voit et manipule en physique.

Et de là, avec d'autres choses plus sophistiques (par exemple t le lien entre déterminant et covolume d'un réseau).

Ce serait dommage de s'en priver, non?

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1995582,1995838#msg-1995838
Oui. Il vaut mieux introduire le déterminant par "parachutage" en L1 que d'attendre trop tard. Et puis, c'est normal que la découverte de nouvelles notions ne soit pas facile au début et demande de s'acclimater.

NoName : comment tu démontres, en L1 avec les outils de L1, que la formule du volume orienté d'un parallélotope est la formule polynomiale du déterminant ? Tu veux leur faire faire ça avec une récurrence, en leur montrant à peu près ce qu'il se passe en dimension 2 et 3, puis en leur proposant de généraliser ? Je te rappelle qu'il y a quand même des signatures de permutations dans la formule, je doute que ça soit si intuitif que ça en L1.

Je ne connais aucune façon intuitive au niveau L1 pour expliquer d'où sort et comment marche le déterminant. C'est toujours assez lourd dans les bouquins.

Techniquement, ce que tu décris est ce que je voulais dire quand je disais "l'espace des formes multilinéaires alternées est de dimension $1$". C'est comme ça qu'il introduit le déterminant dans le Gourdon, je ne connaissais que l'approche "parachutage" avant de me procurer ce bouquin. Tout ce que tu racontes, je l'ai vu en M1, justement.

Je ne sais pas si tes points 2) et 3) sont si intuitifs que ça en L1, mais passons. Tu termines quand même en parachutant la formule polynomiale du déterminant et en disant "paf, ça marche". Je ne connais pas beaucoup d'approches compréhensibles niveau L1 qui dégagent naturellement cette formule. C'est pour ça que je parlais d'une récurrence, mais même là, faire apparaître les signatures de permutations et la formule générale rien qu'avec les cas particuliers en dimension 2/3, pour un étudiant de L1 (qui ne maîtrise pas vraiment les permutations, en général, sans parler des grosses formules avec des produits et des sommes) ça m'a quand même l'air d'être beaucoup de boulot.

Maxtimax écrivait:

---

msg de Maxtimax

Ben une fois que tu as suffisament manipuler sur $\R^n$, tu peux étendre la définition... comme on fait usuellement.

Il ne s'agit pas d'utiliser ce qu'on a vu dans les petites classes, mais utiliser l'intuition de volume vues dans les petites classes pour motiver la définition formelle de volume: une forme n-linéaire alternée, et ensuite de travailler formellement dessus.

NoName : ah effectivement, vu comme motivation je peux être d'accord. Après je ne sais pas si les volumes m'auraient tant motivé que ça à l'époque :-D
Mais je suis déjà plus d'accord.

Tes étudiants ont une bonne connaissance préalable des groupes symétriques ? Ce n'était pas mon cas quand j'ai découvert les déterminants, en tout cas. Du coup, dans ton calcul de $f(x)$, j'aurais pu faire apparaître UNE formule dégueu, mais je ne sais pas si j'aurais su la réécrire comme "somme sur les permutations de...".

Je suis d'accord qu'on l'oublie vite, mais, j'aime bien expliquer les choses de façon constructive tant que c'est possible. Dans ma conception des choses, il faudrait que les étudiants aient un peu vu les groupes avant de commencer l'algèbre linéaire, et le fait que les permutations apparaissent naturellement ici fournit une bonne excuse pour revenir sur les groupes et parler du groupe symétrique si on ne l'a pas déjà fait avant.

Quel INCROYABLE hasard ! :-D

Héhéhé : je préfère ne pas rentrer dans les débats "le programme". Je trouve que la plupart des programmes que j'ai regardés sont mal foutus, mais... ce n'est pas moi qui vais changer le monde. En tout cas, oui, ton approche m'a l'air plutôt sympa !

Je rappelle qu'avec le déterminant, une preuve est relativement accessible en procédant par exemple par contraposée; par récurrence, et en développant un certain déterminant selon lignes (ou colonnes je sais plus qui est quoi mais c'est pas important).

Sur un corps, il y a aussi une preuve accessible sans déterminant, qui utilise qu'en dimension $n$, une suite strictement décroissante de sous-espaces vectoriels a pour taille au plus $n$ ($+$ ou $-1$ selon les conventions sur la taille de la suite, mais ça ne change rien non plus)

Je suppose que c'est le truc habituel de von Neumann : $0=\emptyset$ et $n+1=n\cup\{n\}$, autrement dit $n=\{0,\ldots,n-1\}$.

Bonjour,

J'ai rarement vu un auteur s'impliquer autant pour couvrir autant de notions issues de son livre.

C'est une chose que d'introduire "brutalement" (comme j'ai pu le lire) le déterminant en L1, ne serait ce que pour permettre à un étudiant de L1 d'acquérir différentes techniques pour pouvoir le calculer ; c'en est une autre que de l'introduire comme le fait par exemple Bourbaki (A III.90) au moyen du diplodocus reposant sur les "algèbres extérieures", elles-mêmes reposant sur les "algèbres tensorielles" de modules.

Cordialement,

Thierry

En parlant du Gourdon. Au premier semestre de cette année, j'ai donné un cours d'algèbre aux M2/agrégatifs de Poitiers et comme tout bon prof, j'ai parcouru quelques livres pour établir une bibliographie. C'est là que je me suis aperçu qu'il manque un argument dans le Gourdon dans son chapitre sur le déterminant. Il affirme sans démonstration que l'antisymétrisée d'une forme multilinéaire est alternée (d'ailleurs il en a besoin plus loin pour l'existence du déterminant). Or la preuve de ceci n'est pas triviale et mérite un argument.

Dans notre équipe pédagogique, on a choisi de refaire le déterminant rigoureusement en M1 ou M2. En effet, en L1 le cours sur le déterminant n'est pas donné au matheux seuls, mais en commun avec les physiciens, chimistes, sciences de l'ingénieur. Même s'il était donné aux matheux seuls, il est hors de question de tout démontrer. Dans la plupart des cas on admet l'existence d'une fonction qui vérifie un certain cahier des charges, et on l'appelle "déterminant", et c'est très bien pour les L1 !

bonjour

dans les concours d'entrée dans les écoles de commerce
on a supprimé brutalement dans les années 1970
les déterminants des programmes de math

ce qui fait que les professeurs des classes préparatoires ont inventé des procédés tordus
pour démontrer qu'un système de trois équations à trois inconnues x, y et z du premier degré
comportait ou non un triplé unique de solutions en x, y et z

alors que le critère du déterminant nul (calculé avec la méthode de Sarrus)
permettait d'exclure simplement cette éventualité

Edgar Faure demandait ingénument : "pourquoi faire simple lorsqu'on peut faire compliqué ?"
certains matheux sont tombés dans le panneau

cordialement

Si $A$ est un anneau commutatif (mettez un corps si ça vous émeut, ça ne change strictement rien en fait), $n$ un entier, $E$ un $A$-module libre de type fini dont on notera $e_1,...,e_n$ une base, $F$ un $A$-module et $f:(A^n)^n \to E$ une application $n$-linéaire alternée, alors par manipulation de la seule définition de forme linéaire alternée, on montre que pour tous $(x_{p,q})_{1\leq p,q \leq n} \in (A^n)^n$, on a l'égalité $$f\left( \left (\sum_{j=1}^n x_{i,j} e_j\right)_{1\leq j \leq n}\right) = \left ( \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n x_{i,\sigma(i)} \right ) f(e_1,e_2,...,e_n) \tag{1}$$ et donc $f$ ne dépend que de la valeur qu'elle prend sur $(e_1,...,e_n)$. D'autre part, pour tout $v\in F$, l'application $\left (\sum_{j=1}^n x_{i,j} e_j\right) \mapsto \left ( \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n x_{i,\sigma(i)} \right ) v$ est $n$-linéaire (comme somme d'application $n$-linéaire) et alternée (calculs et manipulation de $\mathfrak S_n$ dont la connaissance est indispensable de toute façon).

Ainsi le $A$-module des applications $Alt_n(E,F)$ des $n$-linéaires alternées de $E^n$ dans $F$ est isomorphe à $F$.

Lorsque $F$ est égal à $A$, $Alt_n(A^n,A)$ est donc un module libre de dimension $1$. Si $\varphi:A^n \to A^n$ est un endomorphisme, notons l'application $D(\phi): f\in Alt_n(A^n, A) \mapsto (u_1,...,u_n) \mapsto f\left ( \varphi (u_1),...,\varphi(u_n)\right )$. $D(\varphi)$ est alors une application linéaire de $Alt_n(A^n,A)$ dans lui-même, et on a clairement pour tous $\psi, \theta \in Hom(A^n,A^n)$, $D(\psi \circ \theta) = D(\theta) \circ D(\psi)$ (*). Or puisque $Alt_n(A^n,A)$ est libre de dimension 1, les $D(\varphi)$ sont des homothéties pour tous $\varphi$.

On appelle déterminant (et on note $\det (\varphi)$) le rapport de l'homothétie $D(\varphi)$. Compte tenu de (*), on a $\det(\psi \circ \theta)=\ det(\psi) \det (\theta)$ pour tous $\psi,\theta\in Hom(A^n,A^n)$.

Le reste du cours sur les déterminants se déroule mécaniquement sur la base de ces constats.

Bonjour,

C'est effectivement comme ça que je l'avais vu en C3-Algèbre et Géométrie (en maîtrise, M1 aujourd'hui).

Cordialement,

Rescassol

Maintenant, je ne suis pas contre la méthode du pivot, au contraire je pense que c'est une bonne introduction pour un cours d'Algèbre linéaire. Jean Lismonde évoque avec nostalgie la résolution des systèmes d'équations linéaires par déterminants, mais il devrait savoir que cette résolution était fantasmée car le calcul effectif d'un déterminant par les méthodes qu'on donnait prend un temps énorme dès que la taille est un peu grande. La méthode du pivot est bien meilleure, sauf pour la dimension 2, où il est indispensable d'apprendre par cœur la solution par déterminants, qui ne demande pas la théorie générale. Je le traitais avec ma classe de Troisième à Noisy-le-Sec (93) à mes débuts, en un lycée qui ne s'appelait pas encore Olympe de Gouges.
La méthode du pivot n'est pas un simple expédient numérique, elle a un vrai intérêt théorique, mais ceci ne s'oppose pas du tout à l'étude des déterminants.
Je m'étais posé la question suivante. Une matrice carrée inversible $A$ peut être transformée en une matrice $Diag (1,1,...,1,\delta)$ par une suite finie d'opérations élémentaires sur les lignes $L_i \leftarrow L_i+ \lambda L_j$, $i \neq j$. On retrouve la génération du groupe spécial linéaire par les transvections : vous voyez que le pivot ce n'est pas du pipeau ;-). Il y a plus : si l'on trouvait une démonstration a priori du fait que le scalaire $\delta$ est indépendant de la suite de ces opérations élémentaires, alors on aurait une définition du déterminant qui ne nécessiterait pas les formes multilinéaires alternées. Mais je doute qu'une telle démonstration existe.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

On n'a qu'une vie (en fait, non mais peu importe), et vu le sujet et l'âge moyen des participants, je donne la preuve du critère de liaison, je m'en veux de l'avoir laissé à la devinette.

Le seul point "difficile" est de prouver que si pour toute $f$, $af(u) = 0$ alors $u$ est liée. Vous allez voir que la beauté de ce passage est assez inédite. (On suppose $u=(u_1,..,u_7)$)

1/ On peut supposer que quelque item qu'on retire à $u$, ça en fait une famille libre.

2/ Il existe donc une $6$-alternée $g$ telle que $ag(u_1,u_2,..,u_6)\neq 0$.

3/ C'est là qu'intervient un ingrédient de ouf de chez ouf: pour tout $x$, posons

$$ f(x):= g(x_2,..,x_6)x_1 - g(x_1,x_3,..)x_2 + .. - .. + .. - ..$$

4/ Alors $f$ est une application linéaire alternée (à justifier le alternée). Attention, son image n'est pas l'anneau de base, on ne peut pas directement la considérer comme une forme alternée.

5/ On sait que pour toute forme linéaire $h$,

$$ ah(f(u)):= ah(g(u_2,..,u_7)u_1 - g(u_1,u_3,..)u_2 + .. - .. + .. - ..) = 0$$

6/ Ce qui entraîne moyennant une hypothèse très faible*** sur l'anneau que $af(u)=0$ ce qui lie $u$ (son coefficient devant $u_7$ n'est pas nul.

*** qu'un vecteur annulé par toute forme est nul.

Il y a doute depuis longtemps sur le substantif qui désigne la qualité d'être coplanaires :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,313250,313335
Moi ma préférence va vers la coplanarité, même si le correcteur d'orthographe du forum ne connaît pas ce mot..
Ce qui est certain c'est que ce n'est pas la coplanairitude (:D.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.