Pseudo inverse

Bonjour
Si X et Y avaient été unitaires (orthogonales), la réponse t'aurait été donnée depuis longtemps.
Il faut à mon avis trouver une décomposition svd de M dans les questions précédentes pour déduire un pseudo-inverse.
Cordialement.

La méthode SVD conduit effectivement à des calculs pénibles ...

Il est plus simple de prendre une des racines de D (complexe).
Si D₁=sqrt(D) , il suffit alors d'écrire M=BC avec B=XD₁ et C=D₁Y, et là ça va tout seul à la main.

Bonne soirée.

Edit:
Les calculs donnent ceci


$D=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\cr 0 & -2 & 0\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Une racine de $D$ est :

$D_1=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\cr 0 & \sqrt{2}\,i & 0\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}-1 & -1 & -1\cr 0 & 1 & 3\cr 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$

$X.D_1=\begin{pmatrix}0 & -\sqrt{2}\,i & -1\cr 0 & \sqrt{2}\,i & 3\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

$Y=\begin{pmatrix}1 & 1 & -2\cr 1 & 0 & 1\cr 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$

$D_1. Y=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\cr \sqrt{2}\,i & 0 & \sqrt{2}\,i\cr 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$

On pose

$B=\begin{pmatrix}-\sqrt{2}\,i & -1\cr \sqrt{2}\,i & 3\cr 0 & 1\end{pmatrix}$

$C=\begin{pmatrix}\sqrt{2}\,i & 0 & \sqrt{2}\,i\cr 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$

On vérifie que l'on a bien $M=BC$

$B.C= \begin{pmatrix}1 & -1 & 1\cr 1 & 3 & 1\cr 1 & 1 & 1\end{pmatrix} $

Soit $B^{*}$ l'adjointe de $B$ et $C^{*}$ l'adjointe de $C$

$B^{*}=\begin{pmatrix}\sqrt{2}\,i & -\sqrt{2}\,i & 0\cr -1 & 3 & 1\end{pmatrix}$

$C^{*}=\begin{pmatrix}-\sqrt{2}\,i & 1\cr 0 & 1\cr -\sqrt{2}\,i & 1\end{pmatrix}$

le pseudo inverse de $M$ est $P=C^{*}.(C.C^{*})^{-1}.(B^{*}.B)^{-1}.B^{*} $

$P=\begin{pmatrix}\frac{7}{24} & \frac{1}{24} & \frac{1}{6}\cr -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0\cr \frac{7}{24} & \frac{1}{24} & \frac{1}{6}\end{pmatrix}=\dfrac{1}{24} \begin{pmatrix}7 & 1 & 4 \cr -6 & 6 & 0\cr 7 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

La matrice pseudo inverse que j'ai donnée est celle de Moore-Penrose

Elle est unique et c'est celle que l'on donne en général comme ici wolfram

Le fait de prendre la racine carrée de la matrice diagonale se retrouve dans d'autres méthodes ( Cholesky en passant par la décomposition LU Crout , par exemple)

Cordialement