Famille libre de polynômes

Bonjour Mike.

Il y a deux sens:

1/ Si
2/ Seulement si.

L'hygiène de la rédaction préconise de les traiter séparément.

Lequel te pose problème ?

e.v.

Arrivé à la fin de la correction de ton prof, tu changes tous les $x_k$ en $e_k$ et
tu passes tout (zou!) dans le membre de gauche.

Qu'est-ce que ça te donne ?

e.v.

Bonjour :

$x_i = \displaystyle\sum_{j\neq i}\beta_j x_j$

Donc :

$0 = -x_i + \displaystyle\sum_{j\neq i}\beta_j x_j $

Autrement dit :

$\underbrace{(-1)}_{= \alpha_i}x_i + \displaystyle\sum_{j\neq i}\underbrace{\beta_j}_{= \alpha_j} x_j = 0$

Je ne comprends pas la question ?

Si tu ne comprends pas les notations, commence avec $n=3$. On se donne donc des vecteurs $e_1$, $e_2$, $e_3$.

Dans un sens, on suppose que la famille est liée. Il existe donc un triplet $\newcommand{\l}{\lambda}(\l_1,\l_2,\l_3)$ de scalaires, pas tous les trois nuls, tels que $\l_1e_1+\l_2e_2+\l_3e_3=0$. L'un des $\l_i$ n'est pas nul, par exemple $\l_2$. On a alors \[e_2=-\frac{\l_1}{\l_2}e_1-\frac{\l_3}{\l_2}e_3.\] On pose alors $\alpha_1=-\frac{\l_1}{\l_2}$ et $\alpha_3=-\frac{\l_3}{\l_1}$ et c'est gagné.

Dans l'autre sens, on suppose qu'il existe $i$ et $(\alpha_j)_{j\ne i}$ tel que $e_i=\sum_{j\ne i}\alpha_je_j$. Par exemple, $i=3$. Cela veut dire qu'il existe $\alpha_1$ et $\alpha_3$ tels que $e_3=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2$. On écrit alors \[\alpha_1e_1+\alpha_2e_2-e_3=0,\] et c'est une relation de dépendance linéaire de la forme $\l_1e_1+\l_2e_2+\l_3e_3=0$ avec $(\l_1,\l_2,\l_3)$ triplet de scalaires pas tous nuls, où l'on a posé $\l_1=\alpha_1$, $\l_2=\alpha_2$ et $\l_3=-1$.

[Correction du code LaTeX]