Majoration module des racines d'un polynôme
Réponses
-
Pas besoin de parler de matrices, c'est juste une propriété d'un polynôme à coefficients complexes dont le coefficient dominant est égal à $1$, me semble-t-il. On demande de prouver que le module d'une racine $\lambda$ de ce polynôme est inférieur ou égal à la somme des modules des coefficients. Si $|\lambda| \le 1$ c'est évident. Reste à le prouver pour $|\lambda| > 1$, ce qui ne doit pas être trop difficile.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Si on veut absolument utiliser des matrices, il me semble que l’on peut passer par le théorème de Gerschgorin appliqué à une matrice compagnon.
-
Bonjour ,
Ta matrice est dans Mn(C) donc d'après le théorème de Gershgorin :
Sp(M) est inclus dans la réunion des B'( |m_i,i| , somme des |m_i,j| j#i )
Tu prend lambda €sp(M) ca te donne directement le résultat. -
MrJ, c'est bien plus simple que ça, on ne parle que du polynôme et de sa racine, alors il suffit de faire passer un terme de l'autre côté, et inégalité triangulaire, et basta.
-
Au fait c'est vrai, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
-
On a : $P(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+...+a_{1}X+a_0$.
Si $\lambda $ est une racine alors : $- \lambda ^n=a_{n-1}\lambda^{n-1}+a_{n-2}\lambda^{n-2}+...+a_{1}\lambda+a_0$.
On suppose comme j'ai dit $|\lambda|>1$, on divise par $\lambda ^{n-1}$, etc.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
On a avec les mêmes idées la majoration plus forte
\[|\lambda|\leq 1 + \max(|a_0|,\ldots,|a_{n-1}|).\] -
Bravo MrJ pour la meilleure majoration, qui est beaucoup plus jolie que la question initiale, assez balourde faut dire.
-
MrJ ;
Si k est une racine de P alors |k| < 1+||P|| où ||P|| = sup |a_k|
Existe-t-il une condition pour avoir la réciproque ? -
La réciproque de quoi ?
-
Poirot ;
Si on a |k| < 1+ ||P|| , est-ce k peut être une racine de P ? -
Sauf erreur, si $\alpha$ non nul est racine du polynôme $P$ de degré $n$ alors $\dfrac{1}{\alpha}$ est racine du polynôme $\displaystyle Q(x)=x^nP\left(\dfrac{1}{x}\right)$ dont l'ensemble des coefficients est le même que celui de $P$.
-
@don_juanes2 : L'ensemble des nombres complexes de module inférieur à $1 + ||P||$ est non dénombrable, il ne contient donc pas que des racines de $P$ (sauf si $P=0$).
-
Don_juanes2,
Combien de racines pour ton polynôme ? Combien de réels $k$ tels que $|k|\le 1+||P||$ ?
Cordialement.
Ah ! Battu par Poirot ! -
Bonjour, merci à tous pour vos interventions.
@Chaurien je trouve ta méthode plutôt cool.
Soit $P=\sum_{k=0}^n {a_{k}X^{k}}$ un polynôme à coefficients complexes de degré $n$
on note $\parallel P\parallel=|a_{n}|+...+|a_{0}|$, où $\parallel \parallel$ une norme sur $\mathbb{C_{n}[X]}$.
on montre que pour toute racine complexe $z$ de $P$ , on a $|z|\leq \frac{\parallel P\parallel}{|a_{n}|}$.
d'ou le résultat attendu. -
J'ai pu trouver ce résultat avec votre aide (surtout celle de @Chaurien), ma question est pourquoi avoir décidé de comparer le module de la racine à $1$ ? C'est quoi l'idée qui nous pousse à ce choix :-D.
Merci d'avance. -
Bah $1$ c'est la transition de phase entre vérifier $|z|^n < |z|$ et $|z|^n > |z|$ !
-
$1^n=1$ pour tout $n$ entier naturel.
-
Et $P(1)=1+a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots+a_1+a_0$
-
On peut diviser les coefficients du polynôme par son coefficient dominant si le polynôme considéré n'est pas le polynôme nul. Ce qui fait qu'on se retrouve avec un polynôme dont le coefficient du monôme de plus haut degré est égal à $1$.
A la fin il faudra tenir compte de ce "shift". -
Si la propriété qu'on cherche à démontrer est:
La racine d'un polynôme non nul à coefficients complexes est en valeur absolue inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues des coefficients de ce polynôme.
Cette propriété me semble fausse:
$P(x)=\dfrac{1}{2}x-1$ ce polynôme a pour seule racine $\lambda=2$.
Mais la somme en valeur absolue de ses coefficients est $\dfrac{3}{2}$
Il faut très certainement ajouter la condition que le polynôme considéré a son coefficient dominant égal à $1$. -
Attien,
j'étais resté sur le polynôme unitaire. Tu peux regarder ce que ça donne dans le cas général.
Pour les polynômes quelconques, on a une propriété identique avec des $\frac{a_i}{a_n}$. C'est un classique des maths pour les systèmes formels (voir Davenport et al).
Cordialement.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 1
1 Invité