Valeur singulière

Bonjour
La question suivante vient d'un sujet à la frontière de plusieurs disciplines (analyse matricielle et probabilité). Je le poste dans cette section car je pense que c'est surtout une question d'analyse matricielle plus précisément de décomposition en valeur singulière notée SVD. Et je précise que je suis persuadé que la question n'est pas dure.

Soit $X = B + E \in M_{d,n}$ avec $E$ une matrice dont les coefficients sont des variables aléatoires et $B$ une matrice de rang $d$.
Notons utilisons la décomposition en valeurs singulières de $X$ et $B$, on a $X = \sum_{i=1}^{\hat{r}} \hat{\sigma}_{k} \hat{u}_{k} \hat{v}_{k}^{T}$ et $B = \sum_{i=1}^{r} \sigma_{k} u_{k} v_{k}^{T}$
Soit $\lambda \ge 0$ fixé notons $\hat{d} = \max\{ k \mid \hat{\sigma}_{k} \ge \lambda \}$
On a la convention $\sigma_{1}(A) \ge \cdots \ge \sigma_{r}(A)$.

Je lis $\mathbb{P}(\hat{d} \ne d) = \mathbb{P}(\hat{\sigma}_{d+1} \ge \lambda \text{ ou } \hat{\sigma}_{d} < \lambda ) \le \mathbb{P}(|E|_{op} \ge \lambda \wedge \sigma_{d} - \lambda) $

J'aimerais comprendre l'inégalité pour moi le reste est ok !

Alors qu'est ce que j'ai fait ? Déjà le $\text{or}$ m'embête alors je passe au complémentaire. Supposons que $|E|_{op} < \lambda \wedge \sigma_{d} - \lambda$ (EDIT) et montrons que $\hat{d} = d$ c'est à dire que $\hat{\sigma}_{d+1} < \lambda \text{ et } \hat{\sigma}_{d} \ge \lambda$
Une conclusion est directe par l'inégalité de Weyl
$$
|\hat{\sigma}_{d} - \sigma_{d}| \le |E|_{op} \le \sigma_{d} - \lambda
$$
D'où $ \hat{\sigma}_{d} \ge \lambda$

Par contre je ne vois pas quoi dire sur $\hat{\sigma}_{d+1}$, il faudrait surêment utiliser le fait que le rang de $B$ est $d$ ce qui veut dire que $\sigma_{d+1}= 0$ mais de toute façon l'inégalité de Weyl ne marche pas dans ce cas car $X$ est une matrice $d\times n$.