Égalité pseudo-inverse et trace

jma
jma
dans Algèbre
Bonjour,

Je cherche à montrer l'égalité suivante :
\[Trace\left(\left(H^{T}H\right)^{+}\left(H^{+}\Sigma_{b}H\right)\right)=Trace\left(\left(HH^{+}\right)^{T}\Sigma_{b}\left(HH^{+}\right)\right)\]
Avec $H^{+}$ est la matrice de Moore-Penrose, $H\in\mathbb{R}^{k\times l}$ et $\Sigma_{b}\in\mathbb{R}^{k\times k}$ est une matrice diagonale.
De plus, on sait que, quelque soit la matrice $X\in\mathbb{R}^{p\times n}$, on a l'égalité suivante : $\left(X^{T}X\right)^{+}=X^{+}\left(X^{+}\right)^{T}$.
Je vous passe la vue de mes brouillons...une aide me serait utile.

Cordialement.

Réponses

  • P.
    P.
    J'ai fait le calcul dans le cas $H=\left[\begin{array}{ccc}a&0&0\\0&0&0\end{array}\right]$ et $\Sigma_b=\left[\begin{array}{cc}b_1&0\\0&b_2\end{array}\right]$ et le membre de gauche de ton egalite est $b_1/a^2$, celui de droite est $b_1.$
  • jma
    jma
    Bonjour,

    Merci, je ne pensais plus avoir de réponse d'où mon retard : "toutes mes confuses". Je vais étudier mon problème avec ces indications. Je reviendrais peut-être pour poser une ou deux questions.

    Bien cordialement.
  • jma
    jma
    Bonjour,

    J'ai fait moi aussi les calculs mais, ce que je recherche, c'est un résultat "général" sur cette égalité. C'est énervant !
    Pourriez-vous m'indiquer un/des livres d'algèbre linéaire où les pseudo-inverses prennent une bonne place ?

    Cordialement.
  • AP
    AP
    Bonsoir
    Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par recherche d'un résultat général puisque l'égalité proposée est fausse?
    D'où vient-elle, d'ailleurs ? J'ai de très vieux documents sur ces pseudo-inverses, mais j'ai rien sur des relations avec trace.
  • jma
    jma
    Bonsoir

    Il faudrait penser à se détendre AP. Pourquoi est-elle fausse ?
    Il s'agit d'un article du "Journal of Machine Learning Research" de Jieping Ye en cliquant sur le lien à la suite du théorème 3.1 : http://www.jmlr.org/papers/v6/ye05a.html. Tu verras que dans un travail de recherche, on peut avoir une pseudo-inverse sous la trace a priori une aide de plus pour trouver le résultat (ah ! l'algèbre). Sinon, ma très grande faute aurait été de mal condenser ma question. J'espère que tu vas pouvoir m'aider maintenant. Là, je ne suis qu'en 2005 et, je dois arriver en 2020 avec la sparcité...
    Merci d'avance.

    Ajout : pour le pluriel "ces pseudo-inverses" peut-être il y en a une infinité mais celle de More-Penrose est unique.
  • AP
    AP
    Bonjour
    je passe sur les commentaires
    franchement il faudrait penser ... à bien lire : P t'a donné un contre exemple qui met en défaut ta formule et il y en a bien d'autres cas ($H=kI$ avec $k$ non nul)  , donc la formule donnée est bien fausse.
    A la lecture de ton document, l'explication est évidente.
  • jma
    jma
    Bonjour,

    Donc le post initial contenant ma question est faux mais, dans le contexte de l'article, cela est évident ? Tu en dis trop ou pas assez ! Et, pour l'instant, c'est juste une pirouette ("évident" ou "trivial" ne me font pas avancer) donc peux-tu me dire ce qui cloche ?

    Cordialement.
  • jma
    jma
    Entendu merci. La formule est mal recopiée dans mon post initial.

    Cordialement.
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