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Sous-groupe morphisme

Envoyé par CorentinD 
Sous-groupe morphisme
18 mai 2020, 17:48
Bonjour,

Je me demandais si un sous groupe d'un morphisme de groupe est un morphisme.

Merci d'avance,
Bien cordialement,
Corentin



Modifié 1 fois. Dernière modification le 18/05/2020 17:55 par michael.
Re: Sous-groupe morphisme
18 mai 2020, 17:51
La question n'a pas de sens. Un morphisme est une application, ce n'est pas un groupe et donc cela n'a pas de sous-groupes.
Re: Sous-groupe morphisme
18 mai 2020, 17:56
Oui oui je suis d'accord.
Mais vu que je me disais qu'il y en a un c'est un sous-esemble de l'autre et que l'autre était un morphisme alors le sous-ensemble était aussi un morphisme
Re: Sous-groupe morphisme
18 mai 2020, 18:00
avatar
Peux-tu écrire une question précise ? Ce que tu dis n'a aucun sens.
Je commence pour toi :
soient $G$ et $G'$ deux groupes et $\phi : G \to G'$ un morphisme entre ces deux groupes.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 18/05/2020 18:02 par michael.
Re: Sous-groupe morphisme
18 mai 2020, 18:50
avatar
On peut considérer LE groupe des automorphismes d'un groupe $G$ (morphismes de $G$ dans $G$ bijectifs) mais cet objet ne "vit" pas dans le groupe $G$.

Confondre un groupe et un morphisme c'est comme confondre un projecteur de films et l'image qu'il produit d'un film sur un écran, confondre un être humain et son image dans un miroir.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Sous-groupe morphisme
18 mai 2020, 19:02
Attention, si on suit la théorie des ensembles, un morphisme de $G\to G'$ c'est en particulier un sous-ensemble de $G\times G'$. De plus, on vérifie que les axiomes qui disent que c'est un morphisme de groupes disent en particulier que c'est un sous-groupe de $G\times G'$.

Mais il n'y a pas de raison de penser qu'un sous-groupe soit aussi un morphisme.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Sous-groupe morphisme
19 mai 2020, 00:11
Moui, bof.
df
Re: Sous-groupe morphisme
19 mai 2020, 02:52
Puisque Fin de partie évoque le groupe des automorphismes de $G$, j'en profite pour signaler le résultat suivant connu sous le nom de théorème d'Horosevskii (1974): soit $G$ un groupe fini non trivial d'ordre $n$.
L'ordre de tout élément du groupe des automorphismes de $G$ est plus petit que l'ordre $n$ de $G$.

Simple à formuler, extrêmement difficile à prouver sans passer en revue la classification des groupes finis simples !
On peut trouver la preuve dans l'ouvrage d'Horosevskii: Automorphisms of finite groups.
On peut aussi consulter l'article d'Alexander Bors: On finite groups where the order of any automorphism is a cycle lenght.
Il y a aussi Finite groups theory de Marty Isaacs.
...
Re: Sous-groupe morphisme
19 mai 2020, 09:11
Puisqu'on en est à parler de jolis résultats sur les groupes d'automorphismes, en voici un que j'aime beaucoup.

Théorème (Wielandt, 1939) : Soit $G$ un groupe fini dont le centre est trivial. Alors la suite définie par $G_0 = G, G_{n+1} = \text{Aut}(G_n)$ pour $n \geq 0$ est constante à partir d'un certain rang.
Re: Sous-groupe morphisme
19 mai 2020, 09:12
Je ne sais pas si le fil de quelqu'un qui a encore du mal avec les notions de base est le meilleur endroit pour partager ces résultats, mais c'est joli en tout cas.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Sous-groupe morphisme
19 mai 2020, 11:54
Joli, mais aucun rapport avec la question de CorentinD, qui a un peu surpris. Dommage qu'il n'ait pas rappelé le contexte (un morphisme de groupes est un groupe pour quelle loi ? - Maxtimax a dû le repréciser).

Cordialement.
Re: Sous-groupe morphisme
19 mai 2020, 20:25
Révérence gardée, eu égard à ses précédents messages, je ne pense pas que CorentinD voulait dire quelque chose de comparable à l'interprétation de Maxtimax.
Re: Sous-groupe morphisme
19 mai 2020, 20:38
Et pourtant, ce message semble le suggérer.

Mais CorentinD se fait rare ...
Re: Sous-groupe morphisme
19 mai 2020, 21:05
Re: Sous-groupe morphisme
19 mai 2020, 21:29
avatar
Bonsoir,

Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$. Ne peut-on pas penser que l'initiateur du fil ait pensé à l'injection canonique $\iota_H:H\to{G}$ qui est un morphisme de groupes associé à $H$ ?

D'autre part, étant donné un morphisme de groupes $f:G\to{G'}$, ne peut-on pas considérer le morphisme injectif de groupes $\iota:\ker\,f\to{G}$ pour lequel clairement $f\circ\iota={\bf 0}$ ?

Cordialement,

Thierry
Re: Sous-groupe morphisme
20 mai 2020, 08:45
Math Coss,

le message que tu signales date de 12 jours ...

Thierry : Difficile de savoir à quoi a pensé l'auteur, qui reste dans un silence prudent. Dans les deux cas, cela semble bien au delà du niveau de ses autres messages.

Cordialement.
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