Sous-groupe morphisme

CorentinD
CorentinD
dans Algèbre
Bonjour,

Je me demandais si un sous groupe d'un morphisme de groupe est un morphisme.

Merci d'avance,
Bien cordialement,
Corentin

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    La question n'a pas de sens. Un morphisme est une application, ce n'est pas un groupe et donc cela n'a pas de sous-groupes.
  • CorentinD
    CorentinD
    Oui oui je suis d'accord.
    Mais vu que je me disais qu'il y en a un c'est un sous-esemble de l'autre et que l'autre était un morphisme alors le sous-ensemble était aussi un morphisme
  • michael
    michael
    Peux-tu écrire une question précise ? Ce que tu dis n'a aucun sens.
    Je commence pour toi :
    soient $G$ et $G'$ deux groupes et $\phi : G \to G'$ un morphisme entre ces deux groupes.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    On peut considérer LE groupe des automorphismes d'un groupe $G$ (morphismes de $G$ dans $G$ bijectifs) mais cet objet ne "vit" pas dans le groupe $G$.

    Confondre un groupe et un morphisme c'est comme confondre un projecteur de films et l'image qu'il produit d'un film sur un écran, confondre un être humain et son image dans un miroir.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Attention, si on suit la théorie des ensembles, un morphisme de $G\to G'$ c'est en particulier un sous-ensemble de $G\times G'$. De plus, on vérifie que les axiomes qui disent que c'est un morphisme de groupes disent en particulier que c'est un sous-groupe de $G\times G'$.

    Mais il n'y a pas de raison de penser qu'un sous-groupe soit aussi un morphisme.
  • Math Coss
    Math Coss
    Moui, bof.
  • df
    df
    Puisque Fin de partie évoque le groupe des automorphismes de $G$, j'en profite pour signaler le résultat suivant connu sous le nom de théorème d'Horosevskii (1974): soit $G$ un groupe fini non trivial d'ordre $n$.
    L'ordre de tout élément du groupe des automorphismes de $G$ est plus petit que l'ordre $n$ de $G$.

    Simple à formuler, extrêmement difficile à prouver sans passer en revue la classification des groupes finis simples !
    On peut trouver la preuve dans l'ouvrage d'Horosevskii: Automorphisms of finite groups.
    On peut aussi consulter l'article d'Alexander Bors: On finite groups where the order of any automorphism is a cycle lenght.
    Il y a aussi Finite groups theory de Marty Isaacs.
    ...
  • Poirot
    Poirot
    Puisqu'on en est à parler de jolis résultats sur les groupes d'automorphismes, en voici un que j'aime beaucoup.

    Théorème (Wielandt, 1939) : Soit $G$ un groupe fini dont le centre est trivial. Alors la suite définie par $G_0 = G, G_{n+1} = \text{Aut}(G_n)$ pour $n \geq 0$ est constante à partir d'un certain rang.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je ne sais pas si le fil de quelqu'un qui a encore du mal avec les notions de base est le meilleur endroit pour partager ces résultats, mais c'est joli en tout cas.
  • gerard0
    gerard0
    Joli, mais aucun rapport avec la question de CorentinD, qui a un peu surpris. Dommage qu'il n'ait pas rappelé le contexte (un morphisme de groupes est un groupe pour quelle loi ? - Maxtimax a dû le repréciser).

    Cordialement.
  • Math Coss
    Math Coss
    Révérence gardée, eu égard à ses précédents messages, je ne pense pas que CorentinD voulait dire quelque chose de comparable à l'interprétation de Maxtimax.
  • gerard0
    gerard0
    Et pourtant, ce message semble le suggérer.

    Mais CorentinD se fait rare ...
  • Math Coss
    Math Coss
    Ou pas.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonsoir,

    Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$. Ne peut-on pas penser que l'initiateur du fil ait pensé à l'injection canonique $\iota_H:H\to{G}$ qui est un morphisme de groupes associé à $H$ ?

    D'autre part, étant donné un morphisme de groupes $f:G\to{G'}$, ne peut-on pas considérer le morphisme injectif de groupes $\iota:\ker\,f\to{G}$ pour lequel clairement $f\circ\iota={\bf 0}$ ?

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • gerard0
    gerard0
    Math Coss,

    le message que tu signales date de 12 jours ...

    Thierry : Difficile de savoir à quoi a pensé l'auteur, qui reste dans un silence prudent. Dans les deux cas, cela semble bien au delà du niveau de ses autres messages.

    Cordialement.
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