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Matrices nilpotentes

totemtotem
dans Algèbre
Bonjour,
au paragraphe " Nilpotence et base réduite" de https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_nilpotente quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi l'indice de nilpotence est $2$ et non pas $3$ ?
À moins qu'il y ait une erreur ?

Merci.

Réponses

  • Thierry PomaThierry Poma
    Bonjour,

    Tu es certain de parler de la même chose. Confronter "Approche par l'exemple" où $u$ est nilpotent d'indice $3$ à "Nilpotence et base réduite" où il y est question de l'indice du vecteur $e_1$.

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • totemtotem
    Ben je m'embrouille justement...il y a d'autres indices que l'indice de nilpotence ?
    De toutes façons il vaut $3$ aussi dans ce cas là il me semble...?

    En plus ils disent que "la base $(x,u(x)...u^p(x))$ est libre" mais ne serait-ce pas plutôt la base $(x,u(x)...u^{p-1}(x))$ qui est libre, puisque $u^p(x)=0$ ?
  • Thierry PomaThierry Poma
    Je t'invite à examiner les définitions en suivant ce lien.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • bisambisam
    totem a raison : il y a un bug.
    Le vecteur $e_1$ est bel et bien d'indice $3$ relativement à l'endomorphisme nilpotent $u$
  • Thierry PomaThierry Poma
    Bonjour Bisam,

    Au vu de la définition, j'allais intervenir dans le même sens. Tu m'as devancé.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • totemtotem
    Merci :-)

    Et pour les histoires de familles (et non pas bases ) libres ?
  • bisambisam
    Là encore, tu as raison. Si $x$ est d'indice $p$ relativement à $u$ alors la famille $(x,u(x),\dots, u^{p-1}(x))$ est libre mais $u^p(x)=0$ donc la famille $(x,u(x),\dots, u^p(x))$ est trivialement liée.
    C'est d'ailleurs ce qui est écrit dans la page sur les endomorphismes nilpotents.
  • totemtotem
    OK.

    Question triviale: faut-il corriger la page Wikipédia ?
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