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Référence : théorème d'Artin

Envoyé par Sylvain 
Référence : théorème d'Artin
19 mai 2020, 18:29
avatar
Bonjour,

J'ai entendu parler d'une preuve du théorème d'Artin établissant que les seuls éléments d'ordre fini du groupe de Galois absolu des rationnels sont l'identité et la conjugaison complexe par double inclusion, auriez-vous une référence de pdf ou de bouquin l'exposant ? Greg en parle-t-il dans "Algèbre, le grand combat" ?

Merci.
Re: Référence : théorème d'Artin
19 mai 2020, 20:50
Problèmes d'arithmétique des corps et de théorie de Galois de Bruno Deschamps.
Re: Référence : théorème d'Artin
19 mai 2020, 20:55
avatar
Merci Poirot !
Re: Référence : théorème d'Artin
20 mai 2020, 07:29
Puis-je avoir un lien vers "Algèbre, le grand combat"? Merci!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Référence : théorème d'Artin
20 mai 2020, 08:18
$\def\Gal{\text{Gal}}$Artin-Schreier vu par K. Conrad : [kconrad.math.uconn.edu]

En particulier la section 4 (Applications) dont j'attache un extrait surligné. Un résultat important en théorie des nombres : deux automorphismes de $\Gal(\overline {\Q}/\Q)$ d'ordre fini, distincts de l'identité, sont d'ordre 2 ET conjugués.

Conjugués : vachement important (bis). Pas vraiment énoncé chez Bruno Deschamps. La référence [3] est un article de Baer (en allemand, je pense). Et [4] c'est Bourbaki (le livre VI c'est Groupes et Corps ordonnés) : l'exercice 32 est marqué difficile et utilise l'exercice 31 également marqué difficile (et 31 utilise exos 9 et 5 du V).


Re: Référence : théorème d'Artin
20 mai 2020, 09:18
avatar
Merci Claude. Autrement dit, si $G$ est un sous-groupe de $\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ d'ordre fini engendré par des éléments de torsion, ceux-ci sont nécessairement l'identité et un unique conjugué de la conjugaison ?



Modifié 2 fois. Dernière modification le 20/05/2020 09:31 par Sylvain.
Re: Référence : théorème d'Artin
20 mai 2020, 09:55
Un groupe d'ordre fini est toujours engendré par des éléments de torsion. Mais sinon c'est ça.
Re: Référence : théorème d'Artin
20 mai 2020, 10:37
avatar
Oui, j'ai le tiercé dans le désordre...un groupe engendré par des éléments de torsion qui soit d'ordre fini. Vingt fois sur le métier...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 20/05/2020 10:38 par Sylvain.
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