Référence : théorème d'Artin

Sylvain · May 2020

Bonjour,

J'ai entendu parler d'une preuve du théorème d'Artin établissant que les seuls éléments d'ordre fini du groupe de Galois absolu des rationnels sont l'identité et la conjugaison complexe par double inclusion, auriez-vous une référence de pdf ou de bouquin l'exposant ? Greg en parle-t-il dans "Algèbre, le grand combat" ?

Merci.

Poirot · May 2020

Problèmes d'arithmétique des corps et de théorie de Galois de Bruno Deschamps.

Sylvain · May 2020

Merci Poirot !

christophe c · May 2020

Puis-je avoir un lien vers "Algèbre, le grand combat"? Merci!

claude quitté · May 2020

$\def\Gal{\text{Gal}}$Artin-Schreier vu par K. Conrad : https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/galoistheory/artinschreier.pdf

En particulier la section 4 (Applications) dont j'attache un extrait surligné. Un résultat important en théorie des nombres : deux automorphismes de $\Gal(\overline {\Q}/\Q)$ d'ordre fini, distincts de l'identité, sont d'ordre 2 ET conjugués.

Conjugués : vachement important (bis). Pas vraiment énoncé chez Bruno Deschamps. La référence [3] est un article de Baer (en allemand, je pense). Et [4] c'est Bourbaki (le livre VI c'est Groupes et Corps ordonnés) : l'exercice 32 est marqué difficile et utilise l'exercice 31 également marqué difficile (et 31 utilise exos 9 et 5 du V). 102504

Sylvain · May 2020

Merci Claude. Autrement dit, si $G$ est un sous-groupe de $\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ d'ordre fini engendré par des éléments de torsion, ceux-ci sont nécessairement l'identité et un unique conjugué de la conjugaison ?