Projection orthogonale
Bonjour,
J'ai vu que :
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ (espace euclidien), $x \in E$.
Pour tout $y \in F$ on a $d(x,F)=||x-p_F(x)||$
Calculer $\inf_{(a,b) \in \R^2} \displaystyle\int_{0}^{2 \pi} (x-a \cos x -b \sin x)^2 dx$
Je n'arrive pas à faire le lien entre le cours et l'exercice.
J'ai vu que :
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ (espace euclidien), $x \in E$.
Pour tout $y \in F$ on a $d(x,F)=||x-p_F(x)||$
Calculer $\inf_{(a,b) \in \R^2} \displaystyle\int_{0}^{2 \pi} (x-a \cos x -b \sin x)^2 dx$
Je n'arrive pas à faire le lien entre le cours et l'exercice.
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Réponses
Tu balances ton exercice, puis, pendant ce temps, tu oses te payer le luxe d'aller ici. Ton exercice est un classique.
Thierry
J'ai une correction de l'exercice mais je ne comprends pas du tout le raisonnement.
N'y aurait-il pas une erreur ?
Il doit manquer un carré dans l'intégrale car celle-ci ne dépend pas de $a$ et de $b$.
Pourquoi $F=Vect(f,g)$ ?
Comment on trouve $p_F(f)$ ?
Comment on sait que c'est ce produit scalaire ?
Je vais essayer de te présenter le cheminement qui peut faire penser à utiliser ces différentes notions dans le cas présent.
La question suivante est : « pourquoi est-il pertinent d'introduire cet espace $F$ ? » C'est ce à quoi Bisam vient de répondre en grand détail.
$g \in Vect(\cos,\sin)$.
On a $I=||f-g||^2=(f(x)-g(x) | f(x)-g(x))$
J'ai compris pourquoi on prend ce produit scalaire.
Mais j'ai du mal avec la borne inférieure et le lien avec la projection orthogonale sur $F$. Je n'arrive pas à comprendre la suite.
Le produit scalaire "logique" associé c'est plutôt $(f,g) = \int_0^{2\pi} f(t)g(t)dt$.
On calcule
Si tu poses $f_{a,b}(t) = acos(t) + bsin(t)$ et la fonction $x : t \to t$
$I(a,b) = \int_0^{2\pi} (t - acos(t) - bsin(t))^2dt = \int_0^{2\pi} (t - f_{a,b}(t))^2dt = ||x - f_{a,b}||^2$
Tu es ok avec ça?
Ensuite on cherche la valeur minimale de $I(a,b)$ pour a,b réels, et ce qui est équivalent, la valeur minimale de $||x - f_{a,b}||^2$ quand
$f_{a,b}$ se ballade dans $F = Vect(\{cos(x),sin(x)\})$
Le cours dit alors que cette valeur minimale est atteinte quand on "projette" x sur F pour le produit scalaire défini ci-dessus.
Et tu as une expression explicite de la projection $p_F(x)$ quand $F = Vect(e_1,e_2)$ avec $(e_1,e_2)$ une base orthonormée de F
$p_F(x) = (x,e_1) e_1 + (x,e_2) e_2$
La première chose à faire donc c'est de trouver une base orthonormée de F.
Il y a une petite subtilité !
Ce à quoi fait référence Gai Requin.
L'espace vectoriel des fonctions continues ?
$(\sin,\sin)=\dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_{0}^{2 \pi} \sin^2(x) dx = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_{0}^{2 \pi} \dfrac{1- \cos(2x)}{2} dx=1$
De même on montre que $(\cos,\cos)=1$
Et $(\cos,\sin)=\dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_{0}^{2 \pi} \sin(x) \cos(x) dx = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_{0}^{2 \pi} \sin(2x) dx=0$
Donne une base orthonormale pour le produit scalaire plus classique $\int_0^{2\pi} f(t)g(t)dt$
Une base orthonormée c'est $(\dfrac{\cos}{\sqrt{\pi}} , \dfrac{\sin}{\sqrt{\pi}})$ car je trouve $||\cos||^2= \pi$
D'ailleurs j'ai l'impression que tu as utilisé $\sin(2x)=\sin(x)\cos(x)$ ce qui est faux, mais tel que tu l'as écrit, les égalités sont correctes...Donc soit tu as mal recopié ton livre, soit il y a une erreur du livre que tu n'as pas vue en recopiant donc tu n'as pas fait le calcul toi-même, soit tu as fait le calcul toi-même et alors tu a oublié un facteur.
J'ai fait les calculs rapidement au brouillon j'ai obtenu le même résultat que le livre en linéarisant $\sin^2$ et $\cos^2$.
Il manque un facteur $2$ ou $\frac12$ mais comme tout est nul, c'est bon. Mais l'as-tu vu ?...
En utilisant une méthode semblable à celle utilisé dans ton exercice, peux-tu déterminer $\displaystyle\inf_{(a,b)\in\R^2}\int_{-1}^1 (x^2-ax-b)^2 dx$ ?
Il faut trouver un autre exemple... Plutôt avec l'intégrale de 0 à 1?
Je dis ça parce qu'un espace euclidien est de dimension finie !
On peut s'en sortir en se restreignant à un espace de dimension finie suffisamment grand pour contenir les fonctions qui interviennent dans l'exercice.
Sinon tes calculs sont corrects !
Soit $\K$ un corps. Un $\K$-espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire s'appelle un espace préhilbertien. Si $E$ est de dimension finie, $E$ est appelé espace euclidien.
Cordialement,
Thierry
Un espace euclidien est de dimension finie et l'espace des fonctions réelles continues sur un intervalle $I$ n'est pas de dimension finie.
L'espace $C\left(\left[-1;1\right],\R\right)$ muni de ton produit scalaire est ce qu'on appelle un espace préhilbertien.
Pour l'exercice que je t'ai donné, tu peux par exemple te placer dans l'espace vectoriel $E$ des fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2, muni de ton produit scalaire. C'est bien un espace euclidien.
Ensuite, tu peux réfléchir à un espace $E$ qui pourrait convenir dans l'exercice du livre (on a le produit scalaire mais on ne sait pas qui est $E$ !).
On considère $E$ un espace vectoriel préhilbertien muni de sa norme euclidienne $||.||$ et de la distance $d$ associée.
Donc $E$ peut être de dimension infinie, c'est $F$ qui est de dimension finie.
On trouve quoi finalement pour ce nouvel infimum ?
Cette phrase est juste magnifique.
Je ne suis pas sûr ici, j'ai un doute avec le $(f,x)x$ que j'ai transformée en $(f,t)x$ car le x dépendrait de la variable d'intégration.
Quel est le problème avec $(f,x)x$?
Concernant ton souci de variable, tu peux nommer les éléments de ta base $e_1$ et $e_2$ si tu as peur de te perdre dans les écritures.
$F=Vect\{1,x\}$. Dans le doute, je pose la question, qu’est-ce que $x$ et $1$?
Ça donne $p_F(f)=1+\dfrac{x}{4}$ on a du $\sqrt{3} ^2$ dans l'expression de la projection.
Donc $I=\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{-1}^{1} (x^2-1-\dfrac{x}{4})^2 dx$
Tu peux détailler $(f,x)$ ie $< f , x \mapsto x >$ ?
C'est certainement une faute de frappe mais il y a un truc à corriger.
49 messages pour une projection sur un espace de dimension 2, ça commence à bien faire.
La fonctionnelle à minimiser c'est $J(a,b)=a^2 \pi +4 b \pi +b^2 \pi +\dfrac{8 \pi ^3}{3}$
Qu'il commence par résoudre ce problème élémentaire qui est de niveau terminale.