Nom d'un endomorphisme particulier

topopot · May 2020

Bonjour

Soit $u$ un endomorphisme d'un $\K$-espace vectoriel $E$. Savez-vous si l'endomorphisme $a_u\in\mathcal L(\mathcal L(E))$ défini par : $$
\forall v\in\mathcal L(E), a_u(v)=u\circ v-v\circ u
$$ a un nom particulier ?

Je sais simplement que l'application $\mathcal L(E)\rightarrow\mathcal L(\mathcal L(E)),u\mapsto a_u$ est appelée représentation adjointe de $\mathcal L(E)$.

rakam · May 2020

Ce n'est pas ce qu'on appelle "crochet de Lie" ??

topopot · May 2020

Merci ça a en effet l'air d'être son nom !

topopot · May 2020

Justement, sur cet endomorphisme, j'ai du mal à vérifier que pour tout $m\in\N, ad_u^m(v)=\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}(-1)^k u^{m-k}\circ v\circ u^k$.

Je vois simplement que si l'on note $G_u:v\mapsto u\circ v$ et $D_u:v\mapsto v\circ u$ (qui commutent), on obtient par la formule du binôme que $ad_u^m(v)=\sum_{k=0}^m \binom{m}{k} (-1)^k (G_u^{m-k}\circ D_u^k)(v)$ mais je ne comprends pas la simplification finale. En effet, j'obtiens une puissance $k$ sur le $v$ du milieu donc je fais forcément une erreur.

MrJ · May 2020

La seule erreur que je vois est qu'il manque un $v$ après l'utilisation du binôme de Newton. Sinon, es-tu d'accord que $G_u^k=G_{u^k}$ et $D_u^k=D_{u^k}$ pour tout $k\in\N$?