Isométrie
Bonjour
Un endomorphisme $f$ de $E$ est une isométrie si et seulement si il conserve le produit scalaire c'est-à-dire :
$\forall (x,y) \in E^2 ,\ (f(x) \mid f(y)) =(x \mid y)$
Je ne comprends pas la remarque qui suit.
Une projection orthogonale n'est pas un automorphisme orthogonal sauf si c'est l'identité puisque sinon elle n'est pas bijective.
Pourquoi une projection orthogonale ne serait pas bijective ?
Un endomorphisme $f$ de $E$ est une isométrie si et seulement si il conserve le produit scalaire c'est-à-dire :
$\forall (x,y) \in E^2 ,\ (f(x) \mid f(y)) =(x \mid y)$
Je ne comprends pas la remarque qui suit.
Une projection orthogonale n'est pas un automorphisme orthogonal sauf si c'est l'identité puisque sinon elle n'est pas bijective.
Pourquoi une projection orthogonale ne serait pas bijective ?
Réponses
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dessin
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Un projecteur est rarement injectif ou surjectif.
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Relis la définition de ce qu'est un projecteur orthogonal (la définition d'un projecteur "tout court" cela ne mangera pas de pain non plus), en te rappelant que si $F$ est un sous-espace vectoriel, F et son orthogonal sont supplémentaires.
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Merci.
On sait que $E=F \bigoplus F^{\perp}$
Et un projecteur orthogonal $p$ vérifie $\forall x \in F ,\ p(x)=x$ et $\forall x \in F^{\perp}, \ p(x)=0$
Donc si j'ai bien compris il n'y a pas injectivité car $p(x)=x$ pour tout $x \in F$ ?
Pour la surjectivité j'ai bien l'impression que ça marche non ? -
Tes deux dernières phrases sont fausses.
Puis en dimension fini, si par hasard ton endomorphisme était surjectif, tu es d'accord qu'il serait surjectif non ?
(Théorème du rang)
PS. Vu que je connais le livre avec lequel tu travailles, j'ai supposé que l'on parlait ici d'espace euclidien (espace vectoriel réel de dimension finie, muni d'un produit scalaire). -
Il y a un paquet de vecteurs de $E$ qui ne sont pas des projetés orthogonaux de $E$ sur $F$.
Il y a un paquet de vecteurs de $E$ qui se projettent orthogonalement sur un même vecteur de $F$.
Noobey t’a fait une proposition, l’as-tu suivie? -
Si tu savais ce que veulent dire "injectif" et "surjectif" tu verrais immédiatement le problème sur le dessin.
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C'est pratiquement trivial : tu sais que $E = F \oplus F^{\bot}$, si tu prends $u \in F$ et $v \neq v' \in F^{\bot}$, que peux-tu dire sur les projections orthogonales sur $F$ de $u+v$ et $u+v'$ ?
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Tu veux dire du coup qu'il n'y a aucun vecteur x dont la projection est ton vecteur vert?
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Et il sait pas ce qu'est un projecteur non plus. $p$ projette sur un sous-espace plus petit que $E$ qui est son image donc pas surjectif si c'est pas l'identité.
Et $p(p(x))=p(x)$ montre que $p(x)$ et $x$ ont même image par $p$ alors que $p(x) \neq x$ si $p$ n'est pas l'identité donc pas injectif. -
Ok j'ai compris grâce à la remarque d'Alexique.
$p(u+v)=p(u)+p(v)=u$ et $p(u+v')=p(u)+p(v')=u$
On a $p(u+v)=p(u+v')$ avec $u+v \ne u+v'$ d'où la non injectivité. On est en dimension finie, donc il n'y a pas bijectivité.
Noobey j'ai fait n'importe quoi :-( -
En dimension finie il y a équivalence entre injectivité et bijectivité et surjectivité.
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Oui, mais tu n'en as pas besoin : si tu as démontré que ce n'est pas injectif, ça ne peut pas être bijectif !
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Ah oui c'est vrai.
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Tu peux dire pourquoi "avec des mots" un projecteur n'est pas surjectif?
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$\mathrm{im\,} p= \{ p(x) \mid x \in E \} = \{0 \} \cup F = F $ car $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ il contient $0$.
Ainsi l'image d'un projecteur ne contient pas d'éléments du supplémentaire de $F$ dans $E$ qui est $F^{\perp}$ donc tout élément de l'orthogonal de $F$ n'a pas d'antécédent par $p$. -
Le supplémentaire de F dans E est $F^\perp$ ?
Quels sont exactement les éléments non atteints par la projection? -
Bah c'est une projection orthogonale et on a $E=F \oplus F^{\perp}$
Un élément de $E$ qui n'est pas dans $F$ est forcément dans $F^{\perp}$.
Les éléments non atteints sont les éléments de $F^{\perp}$. -
1ere ligne ok.
2e ligne non
3e ligne non
$F^ \perp$ n'est pas LE supplémentaire de $F$ (puisque y en a une infinité) c'est LE supplémentaire ORTHOGONAL de $F$. -
@OShine : Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel, $F$ et $G$ des $\K$-sous-espaces vectoriels non triviaux de $E$ tels que $E=F\oplus{G}$. Considérons $p:E\to{E}$, projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$. Soit ${\bf x}$ un vecteur n'appartenant ni à $F$, ni à $G$, donc non nul nécessairement. Le vecteur ${\bf x}$ a-t-il un antécédent par $p$ dans $E$ ? Pourquoi ?
Ce n'est quand même pas la première fois que tu rencontres cette notion, me semble-t-il.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Ce n'est pas possible que $x$ n'appartienne ni à $F$ ni à $G$.
Tout vecteur de $E$ s'écrit de manière unique $x=y+z$ avec $(x,y) \in F \times G$ donc je ne comprends pas la question. -
Ok donc si tu prends 2 droites perpendiculaires du plan tous les points du plan appartiennent à une de ces 2 droites.
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@Oshine
Prend $\mathbb{R}^{2}$:
$Vect[(1,0)]$ et $Vect[(0,1)]$ sont bien supplémentaires tu es d'accord?
(1,1) appartient bien a $\mathbb{R}^{2}$ non ?
Appartient t'il à un des deux sous espaces supplémentaires que j'ai pris ?
(PS: c'est cet exemple qui m'a fait barrer aussitôt ma question plus haut, où je n'étais pas très présent cérébralement quand je l'ai posée).
Edit: @noobey a été plus rapide -
Vous dégainez vite et avec le même colt je vois ^^
Je crois qu'il comprend $E=F \cup G$ et pas $E=F \oplus G$? Aïe, aïe, aïe..
Le jury va creuser creuser et tel que ça se passe ici, c'est pas difficile de te faire dire des grosses bêtises... enfin pas d'oral cette année, lucky you. -
Ok j'ai compris mon erreur avec l'exemple merci.
Pour répondre à Thierry, un élément qui n'appartient ni à $F$ ni à $G$ si on l'appelle $x$ on a $x=y+z$ avec $(y,z) \in F \times G$ donc $p(x)=p(y)=y \in F$
$x$ a un antécédent par $p$ dans $F$ mais pas dans $E$ car $Im \ p \subset F$ -
J'ai l'impressoin (je n'ai pas cherché longtemps) qu'un post (indélicat ou en tout cas qui pouvait être mal interprété et mon intention n'avait rien de méchante) a été caché et tant mieux (sur un autre fil, un de tes fils, mais je ne sais plus lequel).
Te rends-tu compte que les intervenants peuvent te remercier, tu les fais bosser te réviser à donf.
Mais cette espèce de frénésie boulimique de travail continue d'achopper (je n'ai pas tout lu, mais je ne vois pas d'évolution: tes anciennes qualités sont toujours là, mais tu continues de faire du hors-sujet et du bourrage) sur le fait qu'elle ne mène nulle part (si ce n'est qu'elle doit "t'enfermer" de plus en plus).
Tous ces sujets que tu traites sont extrêmement faciles et ne nécessitent quasiment pas d'entrainement (tu ne veux pas intégrer l'X), c'est vraiment dommage de voir une pareille méthodologie pour préparer... le CAPES (ou l'écrit de l'agreg externe)
Je reste à ta dispo en tout cas (sur le fil langage).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Oshine a écrit:on a $x=y+z$ avec $(y,z) \in F \times G$ donc $p(x)=p(y)=y \in F$
$x$ a un antécédent par $p$ dans $F$ mais pas dans $E$ car $Im \ p \subset F$
Allez, arrête de t'enfoncer. Plus on essaye de t'aider, plus tu racontes des énormités qui font tellement peur... Un chapitre entier sur les espaces euclidiens et tu nous prouves sur une bête proposition sur les isométries que tu ne sais pas ce qu'est une projection...
Niveau 1ère :
Soit $(O, \vec{i} , \vec{j})$ un repère orthonormé du plan (muni du produit scalaire usuel, en 1ère de toute façon, y en a pas 50).
1) Donner l'expression de la projection orthogonale sur l'axe des abscisses. Notons-la $p$.
2) Montrer que $p \circ p = p$.
3) Donner deux vecteurs distincts du plan ayant même image par $p$.
4) Donner un vecteur du plan n'ayant pas d'antécédents par $p$.
5) (Au cas où pour être sûr) Quelle est l'image de $p$ ? -
Je ne comprends pas la première question.
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Bonsoir,
> Je ne comprends pas la première question.
Ce n'est pas possible, tu le fais exprès ?
Cordialement,
Rescassol -
Compléter l'égalité $p (\dots)=\dots$.
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Je ne vois pas.
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Compléter l'égalité $p \left( (x,y) \right)=\dots$.
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Observer l’égalité...
Non, quand même pas :-D -
Bonjour, je me permets de rejoindre ce fil. Je pense (comme il a déjà été dit) que le problème n'est pas un manque de compréhension mais un manque de communication, n'importe quel lycéen est capable de donner l'expression de la projection orthogonale sur l'axe des abscisses pourvu qu'il comprenne ce qu'on lui demande. Si on demande à des 1ères "donne-moi l'expression de la projection orthogonale sur l'axe des abscisses" je pense que beaucoup ne sauraient par répondre à cette question, tout simplement parce qu'ils ne savent pas ce qui leur est demandé. Donc, de la même façon pour OShine on va parler français et seulement après on va le formuler avec le langage des mathématiques (c'est comme ça qu'on fait des maths, on réfléchit avant d'écrire et pas l'inverse). Fais un dessin avec le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ et place un point (n'importe lequel), trace sa projection sur l'axe des abscisses (par définition tu as un vecteur sur l'axe des abscisses), essaye avec plusieurs autres points. Par exemple avec le point $(1,2)$, la projection va donner un point sur l'axe des abscisses, d'abscisse $1$, donc ses coordonnées sont... Et dans le cas général, les coordonnées de la projection de $(x,y)$ sur l'axe des abscisses sont $p(x,y)=...$
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@Oshine : oui, je savais bien que ça serait trop dur. En tant que prof de physique, les projetés tu as jamais vu ? Le travail du force, le produit scalaire tout ça ? Je sais bien que tu es contractuel et pas titulaire mais bon...
@Tuvasbien : comment ça il ne comprend pas ? Je lui demande une expression du projeté orthogonal, expression qu'il a utilisé des dizaines de fois avant dans dans ce topic ou dans d'autres pour calculer des distances d'un point à un sous-espace, pour "Gram-Schmidter" des bases etc... Ca doit bien faire 2 semaines qu'il bosse les espaces euclidiens donc je ne peux pas vraiment le pardonner. Surtout quand il prétend être incollable sur tout ce qui est "lycée" et ne pas avoir de temps à consacrer à ça. C'est du pur mépris de notions fondamentales et du déni de réalité par rapport à ses capacités. -
Justement, s'il n'arrive pas à répondre c'est qu'il ne comprend pas depuis le début ! Il est prof de physique, bien sûr qu'il connaît les projections orthogonales, alors pourquoi dès qu'il les voit en maths il ne comprends plus rien ? même sur l'exemple dans $\mathbb{R}^2$ ? Je suis sûr qu'il connaît la réponse (cadeau : $p(x,y)=(x,0)$) et qu'en la voyant il va dire "mais oui c'est ça ! j'arrive pas à réfléchir avec tout ça...". En fait les maths c'est que des chiffres et des lettres pour lui (par exemple quand il dit que lorsque $E=F\oplus G$, ce n'est pas possible que $x$ n'appartienne ni à $F$ ni à $G$), quand il dit "je comprends la démo de Gram-Schmidt" il comprend l'enchaînement de la preuve sans comprendre ce qu'il y a derrière. Alors dès qu'on lui propose un exemple pratique tout simple il sait pas puisqu'il n'y a plus autant de chiffres et de lettres. Tout ça pour dire que oui il sait ce qu'est une projection orthogonale, mais il a un problème avec l'abstraction et/ou le langage des maths (cf le post de christophe c malheureusement délaissé), ou peut être autre chose. 2 semaines qu'il apprend des séquences de chiffres et de lettres sur les espaces euclidiens donc je ne peux pas lui en vouloir de ne pas savoir faire des exos. Ce qui est dommage c'est qu'il n'a toujours pas l'air de s'en rendre compte, remarque sa stratégie pour le CAPES pourrait quand même payer s'il tombe sur de l'analyse qu'il aime bien.
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pourrait quand même payer s'il tombe sur de l'analyse qu'il aime bien.
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Je pense qu'il faut arrêter de lui chercher des excuses. Je lui demande la formule qui est textuellement dans son cours (projection sur une droite ie sur un sous espace de dimension 1). Il ne connait pas son cours et/ou ne le comprend pas. Savoir si on a compris, ça fait partie des attendus d'un étudiant.
@Oshine : si tu veux toujours traiter mon petit exerice, vu que Tuvasbien a vendu la mèche, je reformule
1) Exprimer $p(\vec{u})$ en fonction de $\vec{u}$ pour tout vecteur $\vec{u}$ du plan. Ca peut être bien de le démontrer aussi et de faire un DESSIN, de regarder ce qu'est par définition une projection si tu ne vois pas... -
Les parties entières je maîtrise maintenant j'ai passé tellement de temps dessus.
Le produit matriciel je ne suis pas sûr de vraiment maîtriser cf mon exercice irrésolu avec la matrice définie en plusieurs morceaux.
Pourtant le chapitre sur les espaces euclidiens est 1000 fois moins dur que le chapitre déterminants. Les démonstrations font 3 lignes et se comprennent rapidement.
Mais je n'avais jamais vraiment compris ces histoires de projection en prépa, j'apprenais les définitions sans réfléchir.
J'avance pas beaucoup depuis 2 semaines je suis toujours bloqué sur des détails dans le cours. Ce qui me décourage à continuer les chapitres car trop de blocage.
La solutions donnée par Tuvasbien je l'avais trouvé en me réveillant avant de lire les messages.
1) $p((x,y))=p((x,0))$
2) $\forall (x,y) \in \R^2 \ \ p \circ p ((x,y)) =p ((x,0))=(x,0)$ donc $p \circ p =p$
3) Les vecteurs $\vec{u}=(2,3)$ et $\vec{v}=(2,4)$
4) Le vecteur $\vec{w}=(1,1)$ n'a pas d'antécédent par $p$.
5) $Im \ p=\{ (x,0) | x \in \R \} = Vect \{ (1,0) \}$ -
Question subsidiaire : peux tu donner le supplémentaire de l'axe des abscisses dans R²?
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"Le" supplémentaire ?
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Homo Topi écrivait:
> "Le" supplémentaire ?
Tu gâches tout ... ! Je voulais voir si ... -
Je sais qu'il y n'y a pas unicité du supplémentaire c'était bien expliqué dans mon livre.
Mais je ne vois pas d'autre supplémentaire que l'axe des ordonnées pour l'axe des abscisses. Faut réussir à créer tout l'ensemble R^2. -
La 1), bof relis-toi et tu ne démontres rien. Ca serait bien que tu appliques une définition ou un théorème pour prouver que ce qui te parait évident ne l'est pas forcément. Que vaut $p(\vec{u})$ et pourquoi ?
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Et pourtant il y en a (beaucoup). Si tu n'arrives pas à les trouver (sans calcul) ça sert à rien d'avancer sur les espaces euclidiens
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Il y a un an et demi, sur un autre forum, je lui ai conseillé plusieurs fois d'apprendre les programmes de collège et lycée (assez utile quand on va faire la deuxième épreuve d'oral du capes). Il a toujours refusé, sous prétexte qu'il voulait apprendre le programme de MPSI.
C'est un excellent imitateur, il est capable de faire comme s'il savait de quoi il parle, en recopiant des pages de maths, réadaptées à ce qu'il a à faire. Mais il est aussi incapable de refaire le même exercice présenté autrement.
Cordialement.
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