Suite exacte scindée de modules
Bonjour,
J'ai une suite exacte de $R$-modules ($R$ un anneau commutatif) de la gauche vers la droite et une section $s$ ($s\circ i=\mathrm{id}_A$). $$\xymatrix{0 \ar[r] & A \ar@<-2pt>[r]_i & B \ar@<-2pt>[l]_s \ar[r]_p & C \ar[r] & 0}$$ Il paraît que $B \cong A\oplus C$, c'est du moins que semble utiliser une démonstration de mon cours, mais je ne vois pas pourquoi. Je n'ai jamais eu de cours sur les modules, donc je ne suis pas très à l'aise sur ce sujet (mais c'est peut-être une propriété des groupes abéliens).
Merci d'avance
J'ai une suite exacte de $R$-modules ($R$ un anneau commutatif) de la gauche vers la droite et une section $s$ ($s\circ i=\mathrm{id}_A$). $$\xymatrix{0 \ar[r] & A \ar@<-2pt>[r]_i & B \ar@<-2pt>[l]_s \ar[r]_p & C \ar[r] & 0}$$ Il paraît que $B \cong A\oplus C$, c'est du moins que semble utiliser une démonstration de mon cours, mais je ne vois pas pourquoi. Je n'ai jamais eu de cours sur les modules, donc je ne suis pas très à l'aise sur ce sujet (mais c'est peut-être une propriété des groupes abéliens).
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Réponses
Je veux que ce soit surjectif. Soit $(a,c)\in A\times C$. Soient $b\in p^{-1}(c)$, $d = a-s(b) $ et $b' = b+i(d)$. On a $s(b') = s(b) + d =a$ et $p(b) = c+p\circ i(d) = c$. Donc $(a,c)=F(b')$. Ok.
Injectivité : Soit $b\in\ker F$. On a $b\in \ker p=\mathrm{im}\, i$ donc il existe $a$ tel que $b=i(a)$. Puis $a = s\circ i(a) = s(b) = 0$. Donc $b=0$. Ok.
Problème réglé si je n'ai pas fait d'erreur. Désolé de vous avoir dérangé.
Terminologie : du côté de $i$, on dit plutôt rétraction que section. Et donc comme je suis pénible, je note $r$ au lieu de $s$. En considérant $i \circ r : B \to B$, tu tiens ainsi un projecteur sur $B$. Et c'est bon pour tes affaires.
Section, c'est plutôt du côté de $p$, avec $s : C \to B$ qui remonte le courant de $p$ : $p \circ s = \text{Id}_C$. Idem avec une telle section, tu vas fabriquer un projecteur de $B$. Même conclusion.
Peut-être que $B \simeq A \oplus C$ pourrait être précisé ? Do you see what I mean ? Moi, pas sûr.
En fait c'est plus général, ça marche dans n'importe quelle catégorie abélienne - c'est peut-être pas clair ce que cette généralité t'apporte, mais essentiellement, 2 exemples :
1- ça marche si tu remplaces "groupes abéliens" par "(pré)faisceaux de $R$-modules" (sur n'importe quelle catégorie, en particulier sur un espace)
2- Si $C$ est abélienne, $C^{op}$ aussi, du coup tu as un énoncé dual qui est vrai aussi (et facile à prouver à la main) dans les $R$-modules : si tu as une section $C\to B$ de $p$, alors ta suite se scinde aussi en $B\cong A\oplus C$.
Je me permets de rajouter un mini commentaire à propos de l'énoncé : $B\cong A\oplus C$ n'est pas la conclusion "optimale". La conclusion optimale c'est que tu as un iso qui identifie $i$ à $a\mapsto (a,0)$ et $p$ à $(a,c)\mapsto c$. C'est plus fort, et c'est mieux d'avoir cette conclusion là dans de nombreuses circonstances.
Ben, ça ne me rajeunit pas, c'était dans mon cours de C3 Algèbre et Géométrie il y a 45 ans.
Cordialement,
Rescassol
Maxtimax : Je ne vais pas me lancer dans les catégories abéliennes générales et les (pré)faisceaux aujourd'hui, mais l'histoire de $C^{\rm op}$ éclaire un peu les choses. Je connaissais déjà l'énoncé pour $$\xymatrix{0 \ar[r] & A \ar[r]_i & B \ar@<-2pt>[r]_p & C \ar@<-2pt>[l]_s \ar[r] & 0}$$ (ça donne un produit semi-direct, en l’occurrence abélien), donc si on a le droit d'inverser les flèches c'est cool.
Claude et Maxtimax : C'est vrai que $F$ montre que ma suite exacte est isomorphe à la suite exacte avec rétraction naturelle $$\xymatrix{0 \ar[r] & A \ar@<-2pt>[r]_{a\mapsto (a,0)\ } & A\oplus C \ar@<-2pt>[l]_{(a,c)\mapsto a\ } \ar[r]_{\ (a,c)\mapsto c} & C \ar[r] & 0}$$En l'occurrence je n'en ai pas besoin, donc je n'avais pas pensé à regarder ça. Merci à vous deux.