Application des topos

Est-ce que ça te va si je te donne une application de logique en géométrie algébrique qui est permise par les topos ? :-D

Eh beh tu n'es certainement pas sans savoir que la logique interne d'un topos est, en général, intuitionniste, et pas classique.
Donc ça fait un peu une contrainte quand on veut y travailler; mais aussi, quand on essaie d'y travailler, beaucoup de choses peuvent se simplifier.

Par exemple, si $(X,\mathcal O_X)$ est un espace localement annelé (on peut penser aux schémas 8-) ), dans le langage interne de $Sh(X)$, $\mathcal O_X$ n'est pas "un faisceau en anneaux dont les germes en chaque point forment un anneau local", non non : c'est un anneau local (au sens où il satisfait $\forall x, \exists y, xy = 1\lor (1-x)y =1$ - attention, comme la logique interne n'est qu'intuitionniste, il faut distinguer les différentes notions d'anneau local).

Donc si tu peux prouver intuitionnistement des résultats sur les anneaux locaux, ils viennent gratos dans ton topos, et après tu peux les réinterpréter dans le monde usuel et obtenir des résultats sur tes schémas.

Il y a un énoncé qui est apparemment (je n'ai jamais vérifié) qualifié de "dur" dans Vakil, qui est que si tu as un schéma réduit $X$ (peut-être d'autres hypothèses, je sais plus trop j'avoue, mais je crois que c'est tout), et un faisceau de $O_X$-modules $\mathcal F$ qui est de type fini; alors il est localement libre sur un ouvert dense.
Je ne sais pas à quoi ressemble la preuve à laquelle pense Vakil, mais dans ce setup elle est relativement simple : tu interprètes l'hypothèse sur $X$ ("réduit") comme un énoncé sur $O_X$ dans le langage interne : ça se traduit par $Sh(X) \models \lceil O_X$ est un corps $\rceil$; et donc dans le langage interne tu peux faire une preuve du résultat intuitionniste suivant :
"Soit $K$ un corps et $V$ un module dessus, de type fini. Alors $V$ n'a pas pas de base".
"pas pas" devient " sur un ouvert dense" et on retrouve le résultat de Vakil.

Bref, faire de l'algèbre linéaire ou de l'algèbre commutative intuitionniste te permet de la faire marcher dans $Sh(X)$ (qui est un "topos localement annelé") lorsque $X$ est un schéma, et donc d'avoir des énoncés prouvés élémentairement alors qu'ils sont potentiellement durs.

Je ne sais pas quelle est la portée de cette technique, mais c'est essentiellement le domaine de recherche de Ingo Blechschmidt, et il a l'air de dire que ça peut donner des trucs cools.

D'ailleurs, je viens de voir que j'ai mal lu et qu'en fait, tu parlais d'un énoncé plus simple (pas qualifié de dur lui), si $\mathscr{F}$ est un $\mathcal{O}_X$-module (quasi-cohérent, encore), finiment présenté, sur un schéma réduit $X$ alors il est localement libre sur un ouvert dense.

Du coup la preuve de Vakil doit en fait être assez proche de celle que tu as donnée, modulo un changement de langage: sur chaque composante irréductible, on a un schéma intégral (réduit + irreductible), en son point générique $\eta$, la fibre est un corps, donc $\mathscr{F}_\eta$ est libre, en bidouillant l'hypothèse de présentation finie ça implique que $\mathscr{F}$ est libre sur un voisinage de $\eta$, i.e sur un ouvert (automatiquement dense), c'est le même genre d'idée. Ca serait rigolo d'écrire un dictionnaire "langage topos $\mathrm{Sh}(X)$" $\iff$ "langage schéma". On fait alors la réunion de ces ouverts sur chaque composante irréductible.

Edit: j'ai un petit doute sur le coup de travailler composante irréductible par composante irréductible si $X$ n'est pas noetherien. Il me semble que dans ce cas, une écriture en réunion de composante irréductible existe encore (avec un petit coup de Zorn), mais je n'y mettrais peut-être pas ma main à couper.

Chat-Maths : ton énoncé plus simple est peut-être celui-ci mais il y a plus d'hypothèses que dans mon souvenir - notamment la quasi-cohérence et la présentation finie n'étaient pas dans mon souvenir :-S Je vais essayer de retrouver l'énoncé précis pour ne pas dire de bêtises, a priori il est quelque part sur le site d'Ingo.

Et justement, l'un des buts d'Ingo est d'établir le dictionnaire que tu mentionnes ! Et de voir que le côté gauche est en général beaucoup plus simple (si on se restreint à ne pas utiliser le tiers exclu :-D )

Bonjour,

Je n'y comprends rien mais j'ai lu des choses intéressantes sur la page personnelle d'Olivia Caramello (dans "Unifying theory").

@Claude: Je peux essayer une version "algèbre commutative" de l'énoncé oui, il y a un petit point sur lequel je ne suis pas sûr, donc je vais simplement énoncer le truc tel que je le pense, et si c'est faux on ne manquera pas de m'attaquer au coupe-gorge :-D. La version "simple":

Si $M$ est un module de type fini sur un anneau commutatif intègre $A$, il existe $f \in A$ tel que $M_f$ soit un $A_f$-module libre.

Et là, si je dis pas de connerie, c'est le "Generic freeness" de Grothendieck, qui est en tout cas vrai pour des machins noetheriens... Donc j'ai bien fait d'emmettre un doute sur mon post plus haut, il faut probablement supposer $X$ (et donc, dans l'énoncé au dessus, $A$) noetherien . (Si c'était vrai en toute généralité, ça se saurait non? :-D)

Sinon, l'autre énoncé (le premier des deux plus haut) devrait pouvoir se traduire comme ça: si $A$ est un anneau réduit, $M$ un module sur $A$ de type fini de "'rang constant", i.e l'entier $r(\mathfrak{p}) = \mathrm{Dim}_{A_{\mathfrak{p}}}\left(M_{\mathfrak{p}} \otimes_{A_\mathfrak{p}} A_\mathfrak{p}/(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})\right)$ ne varie pas avec $\mathfrak{p}$. Alors pour tout idéal premier $\mathfrak{p}$, il existe $f \not \in \mathfrak{p}$ tel que $M_f$ soit un $A_f$-module libre. (Et $M$ devrait être projectif au passage).

Là j'ai moins de doute sur le fait d'avoir oublié une hypothèse noetherienne, mais peut-être que $M$ doit être supposé de présentation finie, voir "cohérent" dans ce cas...

Edit: Moui, faudrait que j'écrive les détails mais je pense bien qu'une histoire de présentation finie a été oubliée dans le deuxième énoncé, en tout cas si on veut "calquer version modules" la preuve que j'ai donnée en version faisceaux.

Chat-Maths : j'en profite pour te dire (vu que tu le mentionnes) que Ingo traite aussi le Generic freeness lemma de manière constructive, de sorte à pouvoir en déduire un résultat sympa sur les faisceaux - c'est sur son site aussi ;-)

Sinon oui je vois bien dans ta preuve où interviennent les hypothèses, mais pas dans "la mienne"

Donc tu dis que si on suppose "Type fini + rang localement constant", on a quand même la conclusion "Pour tout $\mathfrak{p}$, il existe $f \not\in \mathfrak{p}$ tel que $M_f$ est un $A_f$-module libre"? Je veux bien te croire, sachant que tu es une pointe de l'algèbre commutative, mais du coup, j'essaye de comprendre exactement pourquoi Harthshorne et Vakil s'embêtent avec ces histoires de réduction.

J'ai l'impression que les deux veulent un truc de rang constant parce que les projectifs de rang constant sont intéressants "géométriquement": on les voit comme des fibrés vectoriels, et on aime bien les fibrés de rang fixés :-D. En tout cas, sans l'hypothèse de réduction, j'ai l'impression qu'on ne peut pas espérer du rang constant (vu l'exemple que donne Vakil: $A = k[x]/(x^2)$ et $M = A/x$).

Et le lien pour le Generic Freeness est exactement celui dont parle Max je crois!

Oh, je reconnais la police d'écriture de cet "ouvrage sérieux" (:P)
J'avais déjà vu ça, et même probablement lu la preuve. J'ai une propension absolument terrible à tout oublier, et je dois relire les choses en boucle et en boucle... Bref, je vais aller me refaire un coup, c'est dans le chapitre II, right?

$A$ est un idéal de l'anneau $A$, c'est pas une coquille!

Les indices $f$: $M_f$ désigne la localisation du $A$-module $M$ par rapport à la partie multiplicative $1, f, f^2, \ldots$.

Mais là, du coup, je n'y comprends plus rien avec l'exemple de Vakil, j'ai pourtant fait et rédigé cet exercice il y a un ou deux mois, et maintenant, les choses sont aussi peu claires que si je n'avais rien fait!

Donc, avec l'anneau $A = k[x]/(x^2)$ et le $A$-module $M = A/(x) = k$. $M$ est bien de type fini (c'est carrément un module cyclique!). Le rang de $M$ est on ne peut plus constant, car $\mathrm{Spec}(A)$ est réduit à un point. Et $r(\mathfrak{p}) =\mathrm{dim}(M_{(x)} \otimes_{A_{(x)}} \kappa((x))) = 1$... Mais $M$ n'est pas projectif.


@Claude: Je crois que j'ai trouvé ce qui me chifonne! Pour Bourbaki, le rang, c'est le rang de $M_{\mathfrak{p}}$ lorsque ce dernier est un module libre, pour Vakil, c'est la dimension du $A_{\mathfrak{p}}/(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})$-ev $M_{\mathfrak{p}} \otimes A_{\mathfrak{p}}/(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})$. Du coup, l'énoncé de Bourbaki et de Vakil diffèrent bien un peu! Vakil dit que quand son rang est constant et l'anneau réduit, alors le module est projectif de rang constant. On ne parlait donc pas exactement de la même proposition depuis le début (:P)

@CC : la mise de $f$ en indice désigne en général la localisation par rapport à la partie multiplicative $\{f^n \mid n \in \mathbb N\}$.

Grand merci Poirot!!

Et pour un module?

Pour un module ça peut se définir comme $M \otimes_A A_f$

L'intrus, c'est juste l'anneau sur lequel les modules sont, c'est pour pas "oublier" sur quoi on bosse, et lever des ambiguïtés dans certains cas: par ex si $M$ et $N$ sont des $A$-modules, $M \otimes_\mathbb{Z} N$ c'est juste le produit tensoriel de $M$ et $N$ en tant que groupes abéliens, et $M \otimes_A N$ leur produit tensoriel en tant que $A$-module.

Oui, je voulais bien dire la dimension comme $\kappa(\mathfrak{p})$ espace vectoriel.

Le Vakil affine: c'est bien cet énoncé. Merci de faire le ménage dans mon flou artistique :-D

J'en reviens à nouveau au sujet du fil. Lupulus:

Les spécialités de Max et GBZM sont le local -> global, le traitement de la question (sans réponse toujours positive) "peut-on recoller des trucs qu'on peut faire localement?"

Leur domaine est la topologie algébrique et la topologie SUPERalgébrique (qui me semble renommé en "géométrie algébrique" parce qu'on y vise principalement les fonctions polynomiales (d où le mot super pour évoquer l'idée qu'on voudrait une topologie où seuls les polynpomes sont continues par exemple)

Mais j'attire ton attention sur le fait que cette problématique est totalement répandue en dehors de la toppologie.

1/ La compacité dit "on peut le faire quand la fonction est à valeurs dans un ensemble fini", donc "fin du problème: y en a pas, point barre"

2/ Le forcing dit "même quand on ne peut pas le faire on peut le faire " quand Lea ne gagne pas infailliblement au jeu:

Lea joue $x_1$, Bob joue $y_1$, Lea joue $x_2$, etc

Bob gagne quand la fonction partielle $\{t \mid \exists i: t = (x_i,y_i)\}$ n'est pas disqualifiée par les exigences locales

3/ De manière encore plus générale, tout énoncé de maths s'arbitre comme suit (j'utilise le fait qu'un énoncé est un jeu, je te renvoie à un autre post, mais demande si tu veux) : à chaque partie perdue par $\exists$ on demande à Lea (joueuse ayant en charge les $\exists$) de désigner un moment atomique de la partie où elle prétend qu'elle n'aurait pas joué comme ça (condition locale). La phrase est fausse si, de quelque manière que s'y prenne Lea, la collecte de ses refus entraine l'existance d'un coup où c'est à elle de jouer et où elle refuse "définitivement" de jouer (ie tout coup suivant a été interdit par elle lors de la collecte).

4/ Typiquement le forcing "ne donne du jus que dans le non dénombrable", car si tu as des conditions locales sur $\N$ (une condition est une fonction partielle déclarée interdite d'être une restriction de la désirée cherchée), conditions finies, la question d'une solution globale est un arbre (bien fondée si pas de solution, et s'étudiant par l'ordinal qu'est sa hauteur).

5/ Apparemment, dans une époque proche, de son côté Grothendieck a opté pour un autre chemin car voulait s'occuper du dénombrable, ce qui semble avoir donné les topos plutôt que le forcing, avec avantages et inconvénients (les inconvénients étant l'intuitionnisme "obligatoire" émergeant du "droite de rejeter" les fonctions qu'on veut, me semble-t-il).

6/ Voilà, en espérant t'avoir mis l'eau à la bouche.

7/ Et évidemment typiquement les théorèmes obtenus sont des trucs du genre "contentez-vous de le faire localement, nous avons porouvé pour l'éternité que ça suffira dans votre cas".

8/ Le forcing ayant un but différent (il VEUT la logique classique, c'est dans le cahier des charges à la base), on a quand-même de nombreux théorèmes positifs (ie du genre ça c'est vrai dans tout modèle de ZF) qui sont arrivés en rendant ce qu'on avait envie de rendre dénombrable après s'être assuré qu'il y avait un WLOG pour la question étudiée, mais pas un WLOG "interne". (Tu remarqueras dans (2) que Bob gagne sans STRICTEMENT AUCUNE peine au jeu où il doit faire croire que l'ensemble est dénombrable :-D )

@Claude: Je peux au moins essayer de "traduire" la preuve de l'énoncé de Vakil en affine, ça me fera un bon exercice :-D

Alors allons-y: vu l'énoncé de Bourbaki (un peu de la triche peut-être?), il suffit de prouver que notre module est "localement libre" de rang $n$, je prends donc un idéal premier $\mathfrak{p}$ (on pourrait le prendre maximal). Par hypothèse, $M_{\mathfrak{p}}/(\mathfrak{p}M_\mathfrak{p})$ est un $\kappa(\mathfrak{p})$-espace vectoriel de rang $n$, il a donc une base $\bar{x_1},\ldots,\bar{x_n}$ où $x_1,\ldots,x_n$ sont des éléments de $M_{\mathfrak{p}}$. Le lemme de Nakayama dit que ces éléments engendrent en fait $M_{\mathfrak{p}}$ en tant que $A_\mathfrak{p}$-module. Ces éléments sont de la forme $x_i = \frac{m_i}{f_i}$ où $m_i \in M$ et $f_i \not \in \mathfrak{p}$. On pose $f = \prod\limits_{i=1}^n f_i$. Les $x_i$ donnent des éléments de $M_{f}$, ils définissent un morphisme $\Phi: A_f^{\oplus n} \to M_f$. On va prouver que, quitte à localiser un peu plus, c'est un isomorphisme.
Vu la construction, le module $\mathrm{Coker}(\Phi)_{\mathfrak{p}}$ est nul, et $\mathrm{Coker}(\Phi)$ est un $A_f$-module de type fini (simplement comme quotient d'un module de type fini), donc il existe $g \in A_f$ tel que $g \not \in \mathfrak{p}$ et $\mathrm{Coker}(\Phi)_g = 0$ (là, le point clé: le support d'un module de type fini est un fermé Zariski: pointeur: https://stacks.math.columbia.edu/tag/00L2).

Bref, du coup, quitte à localiser en $g$, l'application $\Phi_g: (A_g)^{\oplus n} \to M_g$ est surjective, reste à voir son injectivité: si $\sum\limits_{i=1}^n r_i x_i = 0$ avec $r_1$ non nul, alors il existe un idéal premier $\mathfrak{q}$ tel que $r_1 \not \in \mathfrak{q}$ (sinon, il serait nilpotent, pas possible, l'anneau est réduit), et on aurait alors dans $A_{\mathfrak{q}}$: $x_1 = -\frac{1}{r_1}\sum\limits_{i=2}^nr_i x_i$. Mais là, problème: les $x_i$ engendrent $M_{\mathfrak{q}}$ par surjectivité de $\Phi_g$, et la relation précédente montre que la dimension de $M_{\mathfrak{q}} \otimes_{A_{\mathfrak{q}}} \kappa(\mathfrak{q})$ est au plus $n-1$, l'hypothèse de rang constant empêche cela. Donc $\Phi_g$ est un iso $A_g^{\oplus n} \to M_g$, et c'est gagné: pour tout idéal premier $\mathfrak{p}$, on a un élément de l'anneau $g$ tel que $g \not \in \mathfrak{p}$ et tel que $M_g$ est un $A_g$-module libre de rang $n$.

Voilà, j'espère ne pas avoir écrit de bêtise. Je sais que tu aimes les preuves un peu constructives, et celle là ne l'est pas complètement, je ne sais pas dans quelle mesure ça peut se constructiviser.

Edit: Je viens de voir que la proposition et sa preuve sont aussi dans le Stacks: il fallait s'y attendre, c'est ce lemme: https://stacks.math.columbia.edu/tag/0FWG qui vient s'ajouter en complément de https://stacks.math.columbia.edu/tag/00NX (qui est essentiellement la version Stacks des énoncés Bourbaki que tu as donné)

En fait avec ces points de vue, un module projectif de rang $n$ sur l'anneau $A$ peut être vu comme un fibré vectoriel de rang $n$ sur "l'espace affine $spec(A)$", le cas du module libre étant le plus simple d'entre eux.
Quand $A$ est un corps, $spec(A)$ est réduit à un point et la notion se trivialise.