Groupe diédral (aide à la rédaction)
Bonjour,
J'ai besoin d'un petit coup de main pour la rédaction de l'exercice en pièce-jointe s'il vous plaît. J'essaie de traiter les questions 3 et 4 en même temps.
Pour cela, je pose $E = \{ r^ks^{\epsilon}\mid (k, \epsilon) \in [\![0, n-1]\!]\times [\![0,1]\!] \}$. Puis, je montre que $(E, \circ)$ est un groupe. Pour justifier rapidement, $\circ$ est bien sûr associative, $r^0s^0 = Id \in E$, et tout élément est symétrisable:
$r^ks^0$ admet pour symétrique $r^{n-k}s^0$ et
$r^ks^1$ admet pour symétrique lui-même.
Le but avec ça est de montrer que $E = <r,s> = D_n$.
Si il n'y a pas d'erreur jusque là, c'est à ce moment que j'ai besoin de mon coup de main :-D!
Je veux montrer que $E = <r,s>$, et c'est là que ma rédaction ne me paraît pas terrible.
Soit $G$ un sous-groupe de $E$ contenant $r$ et $s$. Par la caractérisation des sous-groupes, $r \circ r \in G$, donc $r^2 \in G$. Remarquons que $r^n = r^0$.
Par récurrence immédiate, $\forall k \in [\![0, n-1]\!], r^k \in G$.
De plus, $s^0, s^1 \in G$ et $s^2 = Id = s^0$.
Donc $\forall (k, \epsilon) \in [\![0, n-1]\!]\times [\![0,1]\!], r^ks^\epsilon \in G$.
On a également dans $G$ les $s^\epsilon r^k$ or $s^0r^k = r^ks^0$ et $s^1r^k = r^{n-k}s^1$. Ils sont donc bien présents.
Tout élément de $G$ admet bien un symétrique. (Vérifié plus haut).
On a donc montré que $G = E$. Ainsi, $E$ n'admet pas de sous-groupe différent de lui-même tel que ce sous-groupe contienne $r$ et $s$. Donc $E$ est le plus petit groupe tel que $r,s \in E$. D'où $<r,s> = E$.
Comme $\forall (k, \epsilon) \in [\![0, n-1]\!]\times [\![0,1]\!],\ r^ks^\epsilon (P_n) \subset P_n,\ <r,s> \subset D_n$.
Pour conclure avec la question 4), en remarquant que si $z \in D_n$, alors comme $z(P_n) \subset P_n,\ \forall k \in [\![0, n-1]\!],\ \exists p \in [\![0, n-1]\!]$ tel que $z : e^{\frac{2ik\pi}{n}} \mapsto e^{\frac{2ip\pi}{n}}$ et donc je pourrai réécrire ça en terme d'applications de $<r,s>$. On en déduit alors que $<r,s>\, = D_n$ et que $\mathrm{card\,} D_n = 2n$ etc.
Dernière question qui n'a pas à voir avec la rédaction, que peut-on dire de l'inclusion ? Qu'elle n'est pas stricte ?
La rédaction est-elle bonne ou le raisonnement est-il fumeux ? (Je ne sais pas vraiment comment m'y prendre pour montrer que $X$ est bien le plus petit truc contenant $x$.)
J'ai sauté pas mal de calculs, ils seraient bien sûr écrits dans une copie.
Merci d'avance pour votre aide, bonne journée !
PS: quelqu'un sait pourquoi il y a une barre toute moche à la fin de mes expressions en Tex ? J'avais déjà vu ça mais jamais autant.
PS2 : Si jamais vous avez l'envie et le temps de m'apprendre quelque chose : je faisais surtout cet exercice pour la dernière question qui utilise le produit semi-direct (sujet d'un exercice précédent) et je me demande bien à quoi il peut servir.
edit: erreur dans le symétrique
J'ai besoin d'un petit coup de main pour la rédaction de l'exercice en pièce-jointe s'il vous plaît. J'essaie de traiter les questions 3 et 4 en même temps.
Pour cela, je pose $E = \{ r^ks^{\epsilon}\mid (k, \epsilon) \in [\![0, n-1]\!]\times [\![0,1]\!] \}$. Puis, je montre que $(E, \circ)$ est un groupe. Pour justifier rapidement, $\circ$ est bien sûr associative, $r^0s^0 = Id \in E$, et tout élément est symétrisable:
$r^ks^0$ admet pour symétrique $r^{n-k}s^0$ et
$r^ks^1$ admet pour symétrique lui-même.
Le but avec ça est de montrer que $E = <r,s> = D_n$.
Si il n'y a pas d'erreur jusque là, c'est à ce moment que j'ai besoin de mon coup de main :-D!
Je veux montrer que $E = <r,s>$, et c'est là que ma rédaction ne me paraît pas terrible.
Soit $G$ un sous-groupe de $E$ contenant $r$ et $s$. Par la caractérisation des sous-groupes, $r \circ r \in G$, donc $r^2 \in G$. Remarquons que $r^n = r^0$.
Par récurrence immédiate, $\forall k \in [\![0, n-1]\!], r^k \in G$.
De plus, $s^0, s^1 \in G$ et $s^2 = Id = s^0$.
Donc $\forall (k, \epsilon) \in [\![0, n-1]\!]\times [\![0,1]\!], r^ks^\epsilon \in G$.
On a également dans $G$ les $s^\epsilon r^k$ or $s^0r^k = r^ks^0$ et $s^1r^k = r^{n-k}s^1$. Ils sont donc bien présents.
Tout élément de $G$ admet bien un symétrique. (Vérifié plus haut).
On a donc montré que $G = E$. Ainsi, $E$ n'admet pas de sous-groupe différent de lui-même tel que ce sous-groupe contienne $r$ et $s$. Donc $E$ est le plus petit groupe tel que $r,s \in E$. D'où $<r,s> = E$.
Comme $\forall (k, \epsilon) \in [\![0, n-1]\!]\times [\![0,1]\!],\ r^ks^\epsilon (P_n) \subset P_n,\ <r,s> \subset D_n$.
Pour conclure avec la question 4), en remarquant que si $z \in D_n$, alors comme $z(P_n) \subset P_n,\ \forall k \in [\![0, n-1]\!],\ \exists p \in [\![0, n-1]\!]$ tel que $z : e^{\frac{2ik\pi}{n}} \mapsto e^{\frac{2ip\pi}{n}}$ et donc je pourrai réécrire ça en terme d'applications de $<r,s>$. On en déduit alors que $<r,s>\, = D_n$ et que $\mathrm{card\,} D_n = 2n$ etc.
Dernière question qui n'a pas à voir avec la rédaction, que peut-on dire de l'inclusion ? Qu'elle n'est pas stricte ?
La rédaction est-elle bonne ou le raisonnement est-il fumeux ? (Je ne sais pas vraiment comment m'y prendre pour montrer que $X$ est bien le plus petit truc contenant $x$.)
J'ai sauté pas mal de calculs, ils seraient bien sûr écrits dans une copie.
Merci d'avance pour votre aide, bonne journée !
PS: quelqu'un sait pourquoi il y a une barre toute moche à la fin de mes expressions en Tex ? J'avais déjà vu ça mais jamais autant.
PS2 : Si jamais vous avez l'envie et le temps de m'apprendre quelque chose : je faisais surtout cet exercice pour la dernière question qui utilise le produit semi-direct (sujet d'un exercice précédent) et je me demande bien à quoi il peut servir.
edit: erreur dans le symétrique
Réponses
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Pour ton problème d'affichage de barre après les formules, tu peux jeter un œil à ce fil, plus précisément ce message.
-
Merci michael ! J'ai remarqué que je n'avais pas le problème sur téléphone. Je suis passé en SVG (même si c'est moins joli :-D)
Bonne journée. -
Salut,
Pour montrer que $E=<r,s>$, on peut aller plus vite, sauf erreur.
Tu as montré que $E$ est un groupe contenant $r$ et $s$.
Comme $<r,s>$ est le plus petit sous-groupe contenant $r$ et $s$, on a $<r,s> \subset E$.
Par ailleurs, le sous-groupe engendré par $\{r, s\}$ étant, par définition (ou caractérisation), l'ensemble des produits d'éléments de $\{r, s\}$ et de leurs symétriques, il contient clairement $E$.
Bonne journée.
michaël. -
Salut michaël,
Oui ça marche bien! C'est justement sur cette partie que ma rédaction me semblait fragile. Merci!
Bonne journée. -
Bonjour
On appelle groupe dihédral d'indice $n$ un sous groupe de $O(\mathbb{R^{2}})$ formé des isométries linéaires qui laissent globalement invariant un polynôme régulier $P$ à $n$ sommets.
Si $D_{n}$ et $D_{n}'$ sont deux groupes diédraux d'indice $n$ alors il est facile de montrer qu'ils sont conjugués dans $O(\mathbb{R^{2}}$.
Je ne vois pas comment de manière immédiate et vous ? -
Autre question. Si $\phi \in O(\mathbb{R^{2}})$ laissant globablement invariant $P$ et $r$ une rotation telle que $r(A_{1}) =\phi (A_{1})$ pourquoi cela entraine que $r = \phi$ ou $ \phi = r \circ s$ avec $s$ la symétrie orthogonale passant par la droite $OA_{1}$ ?
Merci pour votre aide
. -
Il y a deux types d'isométries vectorielles dans le plan :
- les rotations : une rotation $r$ est déterminée par un angle, disons $\theta$, et l'on a $\theta=(\widehat{\vec{OA},\vec{OA'}})$ où $A$ est un point quelconque et $A'=r(A)$) ; une rotation qui admet un point fixe autre que l'origine est donc l'identité ;
- les réflexions : une réflexion $s$ est déterminées par la droite des points fixes ; si $A$ est fixe, la droite fixe de la réflexion est donc $(OA)$.
-
Bonjour et merci Math Coss,
Je me rends compte que ça répond à la deuxième question ! En fait il y a un petit point laissé à l'étudiant : Votre assertion implique deux cas dont le deuxième est $r^{-1} \circ \phi = s$ avec $s$ une symétrie.
A priori ce n'est pas la symétrie par rapport à l'axe $OA_{1}$. Comment montrer que c'est effectivement le cas ?
Voici une piste qui n'a pas abouti :Mais comme $D_{n}$ est un groupe on sait que $s \in D_{n}$ il s'agit d'une symétrie qui laisse globalement invariant $P$.
Et là mon idée est toute simple pour avoir la symétrie par rapport à l'axe $OA_{1}$. Il suffit de multiplier par $r'$ une rotation de $D_{n}$ tel que $A_{s} = s(A_{1})$ vérifie $r'(A_{s})= A_{1}$ car dans ce cas $r'\circ s (A_{1}) = A_{1} $ ce qui implique que $s' = r'\circ s$ est la symétrie par rapport à l'axe $OA_{1}$.
Déjà on sait que $s'$ est une symétrie. Bon après un seul point fixe j'avoue c'est un peu léger pour la caractériser ça pourrait être une autre symétrie. Hum... -
Attendez mais en fait vous donnez la réponse dans votre poste, je vais essayer de comprendre ça tout de suite.
-
Ca doit venir du fait qu'une symétrie a deux valeur propres $-1$ et $1$ donc pour la caractériser il suffit de connaitre les vecteurs propres en particulier les droites stables. Si $A_{1}$ est stable par la droite $D := OA_{1}$ constitue une premier sous espace propre. Et pour le second en fait c'est clair géométriquement et en plus on sait que
$$
s = 2p_{D} - id
$$
donc au final on avait juste besoin de $D$. -
Soit $ r_{\theta}$ une rotation d'angle $\theta$ et d'axe $D$.
Comment on montre que si $g \in SO(\mathbb{R}^{3})$ alors $\
g r_{\theta} g^{-1}
\
$ est la rotation d'axe $g(D)$ et d'angle $\theta$ ? Le seul souci étant l'angle sinon l'énoncé est clair. Pour moi un angle entre deux vecteurs c'est le réel $\theta$ tel que
$$
\cos(\theta) = { x.y \over \|x \|\, \|y \| }
$$ -
Ça ne va pas comme définition de « l'angle entre deux vecteurs » parce que ça ne permet pas de faire la différence entre l'angle $(u,v)$ et l'angle $(v,u)$. Confondre $\theta$ et $-\theta$, c'est confondre une rotation et son inverse, il faut l'éviter !
-
En regardant un dessin, on comprend mieux.
(Servez-vous) -
Autre dessin :
-
Pas mal les petits dessins
-
Je n'ai pas d'autre définition d'angle peut être devrais-je laisser tomber cet énoncé.
-
Deux définitions qui tiennent la route :
(1) Trois points distincts $A$, $B$, $C$ déterminent un angle (géométrique) noté $\angle(ABC)$ de sommet $B$ .
Sa mesure est donnée par
$$
\mu(\angle(ABC)) := \arccos\left( \frac{|BA|^2+|BC|^2-|AC^2|}{2|BA||BC|} \right)
$$
Pas très "user-friendly", pas pour les petites têtes blondes mais, comme annoncé, ça tient la route.
(2) L'angle (orienté) de deux demi-droites de même extrémité $S$ , $Sa$ et $Sb$ , est celui de la rotation
qui amène $Sa$ sur $Sb$ .
On notera que la première définition tient en toute dimension, alors que la seconde ne fonctionne qu'en dimension 2 .
D'autres gens voient les choses différemment, Je pense qu'on les lira.
Référence : M. Berger, Géométrie, dans le deuxiéme tome je crois. -
J’ai trouvé un livre qui en parle
-
Voici le sujet
-
Il propose une caractérisation de l'angle mais je ne comprends pas d'où elle sort
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Bonjour!
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