Groupe commutatif d'ordre 24
Bonjour,
Existe-t-il un groupe commutatif $G$ d'ordre $24$, contenant deux éléments $a,b$ d'ordres respectifs $4$ et $6$ tels que l'ordre de $ab$ soit égal à $24$?
J'avoue que je me sens benêt de poser la question...Mais je ne vois pas de solution plus efficace que d'utiliser le théorème de structure des groupes commutatifs et d'analyser les différents cas.
Peut-on faire plus efficace?
Merci!
Existe-t-il un groupe commutatif $G$ d'ordre $24$, contenant deux éléments $a,b$ d'ordres respectifs $4$ et $6$ tels que l'ordre de $ab$ soit égal à $24$?
J'avoue que je me sens benêt de poser la question...Mais je ne vois pas de solution plus efficace que d'utiliser le théorème de structure des groupes commutatifs et d'analyser les différents cas.
Peut-on faire plus efficace?
Merci!
Réponses
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Ben, $(ab)^{12} = a^{12}b^{12} = (a^4)^3(b^6)^2 = e$ !
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Merci Georges... J'avais vraiment raison de me sentir benêt. Gros coup de fatigue!
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Plus généralement, si $a$ et $b$ commutent, l'ordre de $ab$ divise le ppcm des ordres de $a$ et $b$.
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Bonjour!
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