Orientation suite

Es-tu sûr que ton 1- est vrai ?
(j'ai mis du temps parce que j'y ai réfléchi un moment sans aboutir, puis j'ai complètement oublié et là je suis retombé sur des questions similaires pour d'autres raisons)

J'ai l'impression que ce n'est pas le cas. Je m'explique. Déjà on a un morphisme évident $M_n(A)\to GL_n(A)\cup\{0\}$ qui envoie inversibles sur eux-mêmes et le reste sur $0$, donc $M_n(A)^{ab}\to GL_n(A)^{ab}\cup\{0\}$ (où je note $M^{ab}$ l'abélianisé de $M$, pour un monoïde $M$).

Maintenant, on a l'habitude que $GL_n(A)^{ab}$ soit juste $A^\times$, parce qu'on pense aux corps, pour lesquels c'est vrai (euuuuh la plupart du temps - en fait ce n'est même pas vrai pour les corps, je viens de m'en rendre compte !! quelle bêtise . $GL_2(\mathbb F_2)$ a $6$ éléments, c'est donc $S_3$, donc il a un abélianisé non trivial, i.e. différent de $\mathbb F_2^\times$ - je pense que c'est faux aussi pour $GL_2(\mathbb F_3)$, mais flemme de faire les calculs )

Mais il y a des cas où ce n'est pas le cas ! Exemple juste au-dessus, même dans le cas des corps, mais je signale à tout hasard que je crois qu'il y a d'autres exemples. Ma croyance vient de deux choses : 1- la partie "Remarques" ici, qui indique que parfois, même pour $A$ principal, on peut avoir que $SL_n(A)$ n'est pas engendré par les matrices élémentaires, alors même que selon cet article (cf. théorème 7.), si $2$ est inversible et $n\neq 2$, alors $GL_n(A)'$ est, lui, engendré par les matrices élémentaires (où je note $'$ le sous-groupe dérivé).
En particulier, si la remarque de wikipedia s'applique à des anneaux principaux dans lesquels $2$ est inversible (ce que je ne peux qu'imaginer, mais je serais surpris du contraire) , alors on obtient d'autres exemples.

Bref, quelle est la morale de tout ça ?

La morale est que dans certains cas (même dans le cas de corps ! qui l'eût cru...) on peut avoir un morphisme $GL_n(A)^{ab}\to L$, avec $L$ commutatif, qui ne se factorise pas forcément par $\det : GL_n(A)^{ab}\to A^\times$.
En particulier, cela fournit $f : M_n(A) \to L\cup\{0\}$ (où je rajoute $0$ en élément absorbant) qui ne se factorise pas par $\det$.

Un exemple explicite serait bienvenu :

$M_2(\mathbb F_2)\to GL_2(\mathbb F_2)\cup \{0\} \cong S_3\cup\{0\}\to \mathbb Z/2 \cup \{0\}$ est un morphisme surjectif, et ne peut donc pas se factoriser par $M_2(\mathbb F_2)\overset\det\to \mathbb F_2$

Si j'ai pas raconté de bêtise, ton 1- est donc faux - et si les exemples que les liens que je donne suggèrent existent bien, il est faux même en s'éloignant de la pathologie $n=2,|A| \leq 3$ (qui est la pathologie qui existe déjà pour $GL_n$ d'un corps !).

En fait, je peux déjà dire comment s'éloigner de la pathologie $|A|\leq 3$ (je ne sais pas trop si je peux le faire "à la main" pour m'éloigner de $n=2$, mais à nouveau, c'est suggéré par les liens fournis) : en fait par une astuce (classique et pas compliquée) de matrices génériques, on peut se ramener à des anneaux très très gentils ( = sous-anneaux de $\mathcal C$, enfin même pour être plus précis, anneaux de polynômes sur $\mathbb Z$); donc si ça marchait pour tout ceux-là ça marcherait aussi pour $\mathbb F_2$ : ce n'est pas le cas, donc ce n'est pas le cas.

Ensuite pour ton 2- : oui, bien sûr. En fait (en choisissant qui de $i$ ou $-i$ est ton enfant préféré, au préalable :-D) tu peux même dire qu'ils sont orientés. Cela peut ne pas sembler une grosse différence, mais c'en est une: le choix étant fait au préalable, il est canonique sur tous les $\mathbb C$-evs et donc se recolle bien.

En particulier, toute variété holomorphe (exemples : $\mathbb C^n, \mathbb CP^n, \mathbb C/\Lambda$,...) est orientable, ce qui est très pratique.

Pour la suite je ne sais pas trop, je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu veux.
Pour moi une orientation c'est une trivialisation de quelque chose (d'ailleurs ce point de vue m'a aidé à comprendre la terminologie dans certains papiers que j'ai lus pour mon mémoire) - en particulier ce n'est pas forcément circonscrit à des choses où un angle a un sens ou même soit pertinent.