Matrices nilpotentes de même rang

Bonsoir, désolé si je n'ai pas pu répondre. En effet, j'étais malade mais étant donné que je vais mieux, je continue donc l'exercice.

Notons $r$ le rang de $A$.

Il existe donc des vecteurs $u_{1},...,u_{r}$ tel que $Im(A)=<u_{1},...,u_{r}>$.

$A^{2}=0$ cela permet d'affirmer que $Im(A)$ est inclus dans $Ker(A)$. Comme $Ker(A)$ est de dimension $n-r$ d'après le théorème du rang.
Posons $s=n-2r$
D'après le théorème de complétion, on peut compléter la famille de vecteurs $(u_{1},...,u_{r})$ pour obtenir une base de $ker(A)$.
Considérons donc les vecteurs $v_{1},...,v_{s}$ de manière à obtenir $ker(A)=<u_{1},...,u_{r},v_{1},...,v_{s}>$.

Je ne sais pas comment justifier la troisième condition, pouvez-vous m'aider svp? avec une petite indication.

j'ai une idée, puisque $A^{2}=0$ , il existe une base $(w_{1},...,w_{n})$ tel que $A^{2}.w_{i}=0$.
ce qui nous permet de dire que les $A.w_{i}$ appartiennent à $Im(A)$.

Est-ce que cela peut conduire à montrer qu'il existe juste $r$ vecteurs satisfaisant $A.w_{i}=u_{i}$?

Mais @siméon je n'ai pas bien compris ton message, peux-tu m'éclairer avec ce que j'ai donné comme idée.

Ah oui du coup , comme $(w_{1},...,w_{n})$ est une base, on en déduit que $(w_{1},...,w_{r})$ est une famille libre (de l'espace de départ de l'endomorphisme $a$ canoniquement associé à $A$).

D'après le théorème de complétion la famille $(u_{1},...,u_{r},v_{1},...,v_{s},w_{1},...,w_{r})$ est une base vérifiant les conditions que tu m'as données.
Du coup la matrice de $a$ dans cette base est celle de @guego.