Centralité

I) Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $K$ et $f$ une application telle que pour tout $x\in E$, $\left(x, f(x)\right)$ est lié.
Alors $f$ est une homothétie (Schur).
Soient $x,y\in E$ non nuls et $\alpha,\beta$ tels que $f(x)=\alpha x$ et $f(y)=\beta y$. Alors $\alpha=\beta$ (*).
En effet,
1°) si $(x,y)$ est lié, il existe $\lambda\in K$ non nul tel que $x=\lambda y$ (les vecteurs étant non nuls) et alors,
$\alpha y = \alpha \lambda x = f(\lambda x) = f (y) = \beta y$ et donc ($y\neq 0$) $\alpha = \beta$.
2°) si $(x,y)$ est libre, soit $\gamma\in K$ tel que $f(x+y) = \gamma(x+y)$. On a du coup $\gamma x + \gamma y = \gamma (x+y) = f(x+y) = f(x)+f(y)=\alpha x +\beta y$ et donc (liberté) $\alpha = \gamma = \beta$

1° et 2° entraînent (*) qui entraîne trivialement le résultat souhaité.

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Dans un espace vectoriel de dimension finie $V$, on peut montrer sans AC que tout sous-espace vectoriel $W$admet un supplémentaire (en considérant un espace $U$ tel que $U \cap W=\{0\}$ et $U+W$ est de dimension maximale. Plus généralement le théorème de la base incomplètte ne requiert pas AC en dimension finie).

On peut donc énoncer:

II) Si $K$ est un corps et $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie, alors le centre de $Hom(E,E)$ est constitué des applications de la forme $x\mapsto \lambda x$ avec $\lambda$ dans le centre de $K$ (c'est-à-dire toutes les homothéties et rien qu'elles quand $K$ est commutatif :-D ).
Lorsque l'application en question est une homothétie, l'appartenance de son coefficient au centre de $K$ est claire.

Soit $f\in Hom(E,E)$ qui n'est pas une homothétie. Par I), il existe $x\in K$ tel que $\left (x,f(x) \right )$ est libre.
On considère (remarque ci-dessus) un supplémentaire $F$ de $vect \left (x,f(x) \right )$ et on pose $g(x):=0$, $g \left ( f(x)\right ) = f(x)$ et $g(y)=y$ pour tout $y\in F$, ce qui définit une application linéaire de $E$ dans lui-même puisque $E =vect \left (x,f(x) \right ) \oplus F$. Comme $f \left (g (x) \right) = f(0)= 0$ et $g \left ( f(x)\right ) = f(x) \neq 0$ (si $f(x)$ est nul,$\left (x,f(x) \right )$ est lié ).Donc $f$ et $g$ ne commutent pas. Le résultat suit.

Justement Maxtimax il n'y a pas de problème: soit (avec les notations du premier message de Christophe) $x\in A$. Soit $h$ dans $L(x,x)$. Soit $g$ la fonction de domaine $A$ définie par $g(y)=0$ si $y\neq x$, et $g(x)=h$. Alors $f(x)$ commute avec $g(x)$ c'est à dire $h$. Comme $h$ est quelconque, $f(x)$ est une homothétie (par mon message).

EDIT: c'est ce que tu as dit toi-même.