Nombres algébriques

Si tu sais que toute extension finie de $\mathbb Q$ est algébrique sur $\mathbb Q$ alors c'est immédiat par définition.

Chaque $a_i$ est algébrique puisqu'il existe $n_i$ tel que $a_i^{n_i} \in K_i$, et chaque extension $K_i/\mathbb Q$ est algébrique par une récurrence immédiate.

Si l'argument formel ne te convainc pas, il te suffit de te dire que l'addition et le produit de deux algébriques est algébrique, et n'importe quelle puissance rationnelle d'un algébrique est algébrique. Comme tu ne fais qu'enchaîner ce type d'opérations tu restes dans $\overline{\mathbb Q}$ à chaque étape.

Je viens de l'expliquer, $a_0$ est algébrique, donc toutes les puissances entières de $a_0$ sont algébriques. Si on écrit $P = \sum_{k=0}^n c_k X^k$, on a $x = \sum_{k=0}^n c_k a_0^k$ et c'est un nombre algébrique car somme de nombres algébriques. Si tu veux un polynôme $Q$ explicite ça peut devenir très vite très moche.

Si $\alpha$ est algébrique sur $\mathbb Q$, de polynôme minimal $P$ de degré $n$, alors $\alpha^{-1}$ est racine du polynôme réciproque $X^nP\left(\frac{1}{X^n}\right)$ à coefficients rationnels.

De plus, pour tout entier $k \geq 1$, $\alpha^{1/k}$ est racine du polynôme $P(X^k)$, toujours à coefficients rationnels.

Enfin, en notant $\alpha=\alpha_1, \dots, \alpha_n$ les conjugués de $\alpha$ (c'est-à-dire les racines de $P$), alors pour tout entier $k \geq 1$, $\alpha^k$ est racine du polynôme $$\prod_{i=1}^n (X - \alpha_i^k),$$ qui est à coefficients rationnels car ceux-ci sont des polynômes symétriques en les $\alpha_i$. On peut aussi montrer ça en disant que $\alpha$ est racine du polynôme résultant $\text{Res}_Y(P(Y), Y^k - X)$.

En combinant ces trois choses, on voit que toute puissance rationnelle de $\alpha$ est algébrique.

Attention à ton utilisation du terme "polynôme symétrique élémentaire".

Ce que je dis, c'est que tout polynôme (à coefficients dans $\mathbb Q$ disons) symétrique en les $\alpha_i^k$ est en fait un polynôme symétrique (toujours à coefficients rationnels) en les coefficients de $P$, donc un élément de $\mathbb Q$.

Ça vient de deux observations. Tout d'abord, le théorème fondamental des polynômes symétriques : si $A$ est un anneau commutatif et $P \in A[X_1, \dots, X_n]$ est symétrique, c'est-à-dire que $P(X_{\sigma(1)}, \dots, X_{\sigma(n)}) = P$ pour toute permutation $\sigma$ de $\{1, \dots, n\}$) alors il existe un polynôme $Q \in A[X_1, \dots, X_n]$ tel que $P=Q(\Sigma_1, \dots, \Sigma_n)$, où $\Sigma_j$ est le $j$-ième polynôme symétrique élémentaire (en $n$ variables) : $$\Sigma_j = \sum_{1 \leq i_1 < \dots < i_j \leq n} X_{i_1} \dots X_{i_j}.$$ C'est un résultat presque évident quand on regarde des petits exemples, et la démonstration peut être un poil fastidieuse à rédiger proprement, mais c'est presque algorithmique une fois qu'on a compris comment "descendre le poids" du polynôme.

Ensuite, les relations coefficients-racines nous disent que $\Sigma_j(\alpha_1, \dots, \alpha_n) \in \mathbb Q$ pour tout $j$, car il s'agit, au signe près, du $n-j$-ième coefficient de $P$ ! Pour s'en convaincre il suffit de développer la formule $P = (X-\alpha_1) \dots (X-\alpha_n)$. On tombe sur un coefficient constant égal à $(-1)^n \alpha_1 \dots \alpha_n = (-1)^n \Sigma_n(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$, un coefficient devant $X$ égal à $(-1)^{n-1} (\alpha_1 \dots \alpha_{n-1} + \alpha_1 \dots \alpha_{n-2} \alpha_n + \dots + \alpha_2 \dots \alpha_n) = (-1)^{n-1} \Sigma_{n-1}(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$, etc.

On peut maintenant conclure : les coefficients du polynôme $A = \prod_{j=1}^n (X - \alpha_j^k)$ sont des polynômes symétriques en les $\alpha_j^k$, donc en les $\alpha_j$ : pour $0 \leq j \leq n-1$, il existe un polynôme symétrique $P_j \in \mathbb Q[X_1, \dots, X_n]$ tel que le $j$-ième coefficient de $A$ soit $P_j(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$. Comme $P_j$ est symétrique à coefficients dans $\mathbb Q$, il existe un polynôme $Q_j \in \mathbb Q[X_1, \dots, X_n]$ tel que $P_j = Q(\Sigma_1, \dots, \Sigma_n)$ et pour finir on a bien $$P_j(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = Q_j(\Sigma_1(\alpha_1, \dots, \alpha_n), \dots, \Sigma_n(\alpha_1, \dots, \alpha_n)) \in \mathbb Q.$$

Avec plaisir ;-)