Caractérisation ${\rm tr}(A)=0$

@Math Coss ,bonsoir je n’ai pas regardé ta correction parce que je n’ai pas encore eu le temps de chercher l’exercice ( à cause de ma démarche consulaire). Mais peux-tu cacher ta correction stp ? Le temps de nous permettre de chercher convenablement :-D.

$\def\Im{\mathrm{im\,}}\def\tr{\mathrm{tr\,}}$Bonjour à tous, j'ai pu débuter mes recherches concernant l'exercice avec l'indication donnée par @Mjr.
Voici ce que j'ai fait.

D'après 2, on va considérer l'ensemble $G=\{A=(a_{i,j})_{1\leq i,j \leq n} \in M_{n}(C)\mid a_{i,j}=0 ,\ \forall (i,j) \in \N^{2},\text{ où } i=j \}$ et $$

\begin{array}{ccccl}
\varphi_{U} & : & M_{n}(C) & \longrightarrow & M_{n}(C) \\
& & V & \longmapsto & \varphi_{U}(V)=UV-VU .
\end{array}

$$ Je vais montrer que : $\Im(\varphi_{U})=G$
Étant en dimension finie, je vais établir cette égalité en utilisant des arguments de dimension.

1- On constate que l'espace vectoriel $G$ est un sous-espace vectoriel de $M_{n}(C)$ engendré par les matrices élémentaires $E_{i,j}$ où $i\neq j$.
Cette famille de vecteurs est libre car toute sous-famille d'une famille libre est libre, donc forme une base de $G$.
On en déduit que la dimension de $G$ est $n^{2}-n$

2- L'application $\varphi_{U}$ est clairement linéaire par opérations sur l'espace des matrices carrées.
$\star$ Détermination de la dimension de $\Im(\varphi_{U})$.
Ramenons-nous à de celle de $\ker(\varphi_{U})$.
On a $\ker(\varphi_{U})=C(U),$ où $C (U)=\{V \in M_{n}(C) \mid UV=VU \}$.
Comme $U$ est une matrice diagonalisable, on sait que $\dim(C(U))=n$ donc $\dim(\ker(\varphi_{U}))=n$.
D'après le théorème du rang, on en déduit que $\dim(\Im(\varphi_{U}))=n^{2}-n$

3- Comme $\tr(\varphi_{U}(V))=0$, cela implique que $\Im(\varphi_{U}) \subset G.\qquad(*)$
De plus, 1 et 2 assure que $\dim(G)=\dim(\Im(\varphi_{U}).\qquad\qquad\quad(**)$.

De $(*)$ et $(**)$, on en déduit l'égalité voulue.
Ce qui prouve que $A=\varphi_{U}(V)$ càd $A=UV-VU$.

Ok @Poirot , je suis sur mon téléphone, mais je vais réécrire ce qu’on me demande afin de bien résoudre l’exercice.

@troisqua , je ne comprends pas la dernière phrase de ton message me concernant.

@Math Coss, peux-tu rendre lisible ton explication concernant l’idée de @Mjr :-D

Rédaction finale

Soit $A \in M_{n}(C)$

Posons $U=\diag(1,\ldots,n)$ (Merci à @Mjr d'avoir fait l'analyse au brouillon pour moi :-D), on peut même généraliser avec $U=\diag(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n})$ où les coefficients diagonaux sont deux à deux distincts.

Montrons qu'il existe $V \in M_{n}(C)$, telle que $A=UV-VU$.
D'après 2, on va considérer l'ensemble $G=\{A=(a_{i,j})_{1\leq i,j \leq n} \in M_{n}(C)\mid a_{i,j}=0 ,\ \forall (i,j) \in \N^{2},\text{ où } i=j \}$ et $$

\begin{array}{ccccl}
\varphi_{U} & : & M_{n}(C) & \longrightarrow & M_{n}(C) \\
& & V & \longmapsto & \varphi_{U}(V)=UV-VU .
\end{array}

$$ Je vais montrer que : $\Im(\varphi_{U})=G$
Étant en dimension finie, je vais établir cette égalité en utilisant des arguments de dimension.

1- On constate que l'espace vectoriel $G$ est un sous-espace vectoriel de $M_{n}(C)$ engendré par les matrices élémentaires $E_{i,j}$ où $i\neq j$.
Cette famille de vecteurs est libre car toute sous-famille d'une famille libre est libre, donc forme une base de $G$.
On en déduit que la dimension de $G$ est $n^{2}-n$

2- L'application $\varphi_{U}$ est clairement linéaire par opérations sur l'espace des matrices carrées.
$\star$ Détermination de la dimension de $\Im(\varphi_{U})$.
Ramenons-nous à de celle de $\ker(\varphi_{U})$.
On a $\ker(\varphi_{U})=C(U),$ où $C (U)=\{V \in M_{n}(C) \mid UV=VU \}$.
Comme $U$ est une matrice diagonalisable dont les valeurs propres sont deux à deux distinctes(Merci à @troisqua de me rappeler la rigueur en mathématiques :-D, on sait que $\dim(C(U))=n$ donc $\dim(\ker(\varphi_{U}))=n$.
D'après le théorème du rang, on en déduit que $\dim(\Im(\varphi_{U}))=n^{2}-n$

3- Comme $tr(\varphi_{U}(V))=0$, cela implique que $\Im(\varphi_{U}) \subset G.\qquad(*)$
De plus, 1 et 2 assure que $\dim(G)=\dim(\Im(\varphi_{U}).\qquad\qquad\quad(**)$.

De $(*)$ et $(**)$, on en déduit l'égalité voulue.
Ce qui prouve que $A=\varphi_{U}(V)$ càd $A=UV-VU$.

on conclut que $\forall A \in M_{n}(C), \exists (U,V) \in (M_{n}(C))^{2}, A=UV-VU$.

Bonjour @troisqua , je suis parfaitement d’accord avec toi concernant la dimension du commutant qui est supérieure ou égale à $n$ . Mais dans mon cas , la matrice $U$ n’est pas nulle non? Du coup pourquoi rendre compliqué si on peut faire simple ? C’est juste que dans mon cas les ordres de multiplicités sont tous égaux à 1 :-D .

Bonjour @troisqua.
Il est mieux que je comprenne une fois pour toute ce qui manque à mon raisonnement de mon troisième point.

On a bien pour $U$ fixé et $V \in M_{n}(C)$ que $\varphi_{U}(V)=UV-VU$ qui est une matrice carrée.

On constate que la trace de $B=\varphi_{U}(V)=UV-VU$ est nulle, d'après la question $2$ , on peut en déduit que $B$ est semblable à une matrice dont tous les éléments de la diagonale sont nuls.
Cette matrice est donc élément de $G$, où est mon erreur dans mon raisonnement stp?