Endomorphisme diagonalisable
Bonjour,
je suis en train d'étudier le problème suivant.
Soit $n\in\N^\ast$. On considère $A\in\C_n[X]$ non constant et $B\in\C[X]$ un polynôme tel que $\deg(B)=n+1$. Pour tout $P\in\C_n[X]$, on désigne par $\varphi(P)$ le reste de la division euclidienne de $AP$ par $B$.
Il me semble (mais je ne suis pas sûr) que l'on a la propriété suivante : l'endomorphisme $\varphi$ est diagonalisable si et seulement si $B$ est à racines simples.
Pour la réciproque, il suffit d'utiliser les polynômes $\dfrac{B}{X-a}$ où $a\in\C$ est une racine de $B$.
Pour le sens direct :
- J'ai l'impression que l'on peut s'en sortir en considérant les polynômes $\dfrac{B}{(X-a)^k}$ où $a\in\C$ est une racine multiple de $B$ et $k\in\N^\ast$ est inférieur ou égal à la multiplicité de la racine $a$, mais ce que j'ai fais est très calculatoire.
- J'ai essayé en utilisant un polynôme annulateur. Si l'endomorphisme est diagonalisable, alors il existe un polynôme $Q\in\C[X]$ scindé à racines simples tel que $Q(\varphi)=0$. Il me semble alors que cette dernière égalité équivaut à $B$ divise le polynôme $Q(A)$, puis je ne vois pas comment continuer dans cette direction.
Auriez-vous des idées pour démontrer ce résultat (en espérant qu'il ne soit pas faux (:P)). Merci!
Édit : Énoncé légèrement modifié suite aux remarques de Maxtimax.
je suis en train d'étudier le problème suivant.
Soit $n\in\N^\ast$. On considère $A\in\C_n[X]$ non constant et $B\in\C[X]$ un polynôme tel que $\deg(B)=n+1$. Pour tout $P\in\C_n[X]$, on désigne par $\varphi(P)$ le reste de la division euclidienne de $AP$ par $B$.
Il me semble (mais je ne suis pas sûr) que l'on a la propriété suivante : l'endomorphisme $\varphi$ est diagonalisable si et seulement si $B$ est à racines simples.
Pour la réciproque, il suffit d'utiliser les polynômes $\dfrac{B}{X-a}$ où $a\in\C$ est une racine de $B$.
Pour le sens direct :
- J'ai l'impression que l'on peut s'en sortir en considérant les polynômes $\dfrac{B}{(X-a)^k}$ où $a\in\C$ est une racine multiple de $B$ et $k\in\N^\ast$ est inférieur ou égal à la multiplicité de la racine $a$, mais ce que j'ai fais est très calculatoire.
- J'ai essayé en utilisant un polynôme annulateur. Si l'endomorphisme est diagonalisable, alors il existe un polynôme $Q\in\C[X]$ scindé à racines simples tel que $Q(\varphi)=0$. Il me semble alors que cette dernière égalité équivaut à $B$ divise le polynôme $Q(A)$, puis je ne vois pas comment continuer dans cette direction.
Auriez-vous des idées pour démontrer ce résultat (en espérant qu'il ne soit pas faux (:P)). Merci!
Édit : Énoncé légèrement modifié suite aux remarques de Maxtimax.
Réponses
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Je prends $n=1$, $B=X^2, A=X^2+1$.
$\varphi$ m'a tout a fait l'air d'être l'identité -
Beh là tu supposes carrément que $B$ est à racines simples !
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Désolé, j’ai abusé du copier-coller.
Espérons que cette nouvelle version soit enfin sans erreur....
Si la propriété que j’ai conjecturé est fausse, il peut être intéressant de déterminer une condition nécessaire et suffisante pour l’endomorphisme soit diagonalisable.
Je vais y réfléchir ce soir.
Il doit sûrement être possible de se ramener à $B=X^{n+1}$ avec le théorème chinois et une translation. -
Je viens de me rendre compte en prenant le cas $B=X^{n+1}$ que ma condition est clairement fausse. En effet, dans ce cas, les valeurs propres de $\varphi$ sont les coefficients du polynôme $A$...
Du coup, je ne suis plus sûr que l'on puisse formuler une condition nécessaire et suffisante vraiment simple.
Édit : Je me suis trompé, il n’y a que $A(0)$ qui est valeur propre de multiplicité $n+1$ dans le cas où $B=X^{n+1}$ et donc l’endomorphisme n’est pas diagonalisable (sa matrice dans la base canonique est triangulaire inférieur et non diagonale). -
C'est encore faux car il faut bien autoriser que $B$ divise $A$
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@Maxtilax : Je n’ai pas bien compris ta dernière remarque.
En tout cas, je pense que mon équivalence est fausse (c'est peut-être ça que tu voulais dire) à cause de mon dernier exemple.
Si on prend $B=X^2(X+1)$ et $A=X^2$, alors il me semble que $\varphi$ est diagonalisable (je n’ai pas de quoi faire les calculs explicitement sous la main, mais avec le théorème chinois il me semble que c’est le cas).
Du coup, on peut formuler une condition nécessaire et suffisante avec les dérivées de $A$ évaluées avec les racines de $B$, mais c’est beaucoup moins joli que ce que j’espérais. -
La bonne condition est : $\varphi$ est diagonalisable si et seulement si chaque racine $a$ d'ordre $m$ de $B$ est racine au moins d'ordre $m$ de $A-A(a)$.
-
Merci jandri, c’est une belle formulation de la condition.
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