Racines multiples en caractéristique p

elodouwen · June 2020

Bonjour
Je lis : "$X^n-1$ peut avoir des racines multiples si l'on est dans un corps $K$ dont la caractéristique $p$ divise $n$."
Ca, je comprends, car la dérivée de $X^n-1$ du coup est tout simplement nulle. Cela veut-il donc dire que toute racine de ce polynôme est double (triple ? d'ordre $n$ ?).
Cela veut-il dire que dans ce corps $K$, si je poursuis cette logique : $X^n-1=(X-\alpha)^n$ ?
J'ai du mal à concevoir cela car j'ai du mal à trouver des exemples : pour cela, il faudrait, par exemple si $p=5$ et $n=10$, que je puisse me figurer un exemple de corps de décomposition de $X^{10}-1$ sur $\mathbb{F}_5$.
Pourriez-vous m'éclairer ?

gai requin · June 2020

Dans $\mathbb{F}_5[X]$, $X^{10}-1=(X^2)^5-1^5=(X^2-1)^5=(X+1)^5(X-1)^5$ donc ton corps de décomposition est trivial.

Guego · June 2020

Attention : la caractérisation de la multiplicité d'une racine par les dérivées du polynôme n'est pas valable en caractéristique non nulle.

Maxtimax · June 2020

Guego : si : si $(X-a)^2$ divise $P$ alors $P(a) = P'(a) = 0$, et si $P(a) = 0$, alors $P= (X-a)Q$ et donc $P' = (X-a) Q' + Q$, de sorte que $P(a) = P'(a) = 0$ si et seulement si $(X-a)^2 $ divise $P$.

elodouwen: un exemple différent de celui de gai requin est le suivant : en caractéristique $p$, si $a$ n'a pas de racine $p$-ème (ça ne peut pas arriver sur un corps fini), alors le polynôme $X^p-a$ est irréductible et se factorise sous la forme $(X-\alpha)^p$ dans une extension où $\alpha^p =a$

gai requin · June 2020

Salut Max,

Ça marche moins bien si tu veux caractériser $(X-a)^3\mid P$.

Maxtimax · June 2020

gai requin : ah pardon effectivement, j'ai pensé à multiplicité au sens bébé :-D Désolé à guego du coup, tu as tout à fait raison pour les multiplicités en général

Poirot · June 2020

On peut utiliser les dérivées de Hasse pour caractériser la multiplicité d'une racine en caractéristique positive.

elodouwen · June 2020

@gairequin, juste un indice svp je ne vois pas pourquoi $(X-a)^3$ contredit le truc.
Par contre je vois bien que $X^{10}-1$ dans $\mathbb{F}_5$ le contredit puisque les dérivées sont toutes nulles à partir de la première et la multiplicité d'une racine devrait être 10 et cette racine devrait du coup être unique. Or, d'après ta factorisation (à laquelle j'aurais dû penser), il y a deux racines, $+1$ et $-1$ et elles sont de multiplicité 5 chacune.
Donc, ok par cet exemple simple que j'aurais dû juste pousser jusqu'au bout, je suis obligé de constater que $P^{(k)}(a)=0$ n'entraîne pas $(X-a)^k|P$. Mais pourquoi ? Où est la faille dans le raisonnement de Maxtimax ?
Quant à Hasse (@Poirot), j'ai jeté un œil, il s'agit de la dérivée usuelle divisée par $k!$ ? En quoi cela change-t-il quelque chose ?