Exercice d'algèbre linéaire

Bonjour
Cela fait deux jours que je bloque sur quelques questions et j'aurais souhaité si possible avoir un peu d'aide s'il vous plaît.

Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n$, et $u$ un endomorphisme de $E$. Soit $x_{ 0} \in E\setminus\lbrace 0 \rbrace $. On note $x_{ k} = u^{k}(x_{0})$ et $F$ le sous-espace vectoriel engendré par la famille $\lbrace x_{ k} \mid k \in \N\rbrace $.
La première question était de montrer que $F$ est stable par l'endomorphisme $u$, ça j'ai réussi à le faire.
Ensuite, on nous demande de montrer qu'il existe un entier $k\leq n$ tel que $(x_{0}, \ldots, x_{k})$ soit libre et $(x_{0}, \ldots, x_{k}, x_{k+1})$ liée. Et c'est là où je bloque. Pour l'instant voilà ce que j'ai fait.

$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, donc $F$ est de dimension finie (disons de dimension $k$). Ceci signifie que $F$ admet une base $(f_{1},\ldots,f_{k})$. Ces $f_{i}$ sont évidemment des éléments de $F$, donc s'écrivent comme combinaisons linéaires des $x_{j}$. Ceci implique donc qu'il existe une famille finie $(x_{0},\ldots,x_{r})$ qui engendre $F$. On sait du cours que l'on peut extraire de cette famille génératrice une base, qui plus est cette base doit être de dimension $k$. On se retrouve donc avec une base $(x_{i},x_{j},\ldots,x_{h})$ de $k$ éléments. Le souci c'est que je n'ai pas montré ici que ces $x_{i}, x_{j}, \ldots$ peuvent êtres les $x_{0}$ jusqu'à $x_{k}$.

Voilà donc là où je bloque. Il y a encore quelques questions, mais pour ne pas faire un post trop long je commence par celle-ci.
Merci par avance pour vos réponses.
Cordialement.