Orthogonalité.

Gon
Gon
dans Algèbre
Bonjour/Bonsoir (selon l'heure :-D).

Pour la première question, de tête, on sait que $E_{i,j}.M=L_{j}(M)$ et $M.E_{i,j}=C_{i}(M)$ où $L_{j}$ et $C_{i}$ sont respectivement ligne et colonne de $M$,donc on en déduit facilement le résultat demandé.
Je sèche sur la deuxième question de mon exercice, svp pouvez-vous me donner une indication?
Merci d'avance.104938

Réponses

  • P.
    P.
    Ecrivons $P=DU$ ou $U$ est orthogonale et $D$ est definie positive. Sans perte de generalite on suppose $D=\mathrm{diag}(d_1,\ldots,d_n).$ Alors
    $$\mathrm{trace}(M^TM)=\mathrm{trace}(U^TDM^TD^{-1}UU^TD^{-1}MDU)=\mathrm{trace}((D^{-2}M)^T(MD^2)).$$Or $D^{-2 }M=(m_{ij}d_i^{-2}),\ \ MD^2=(m_{ij}d_j^{2})$. Donc pour tout $M$ on a
    $$\sum_{ij}m_{ij}^2=\sum_{ij}m_{ij}^2d_j^2d_i^{-2}$$ ce qui entraine $d_j^2d_i^{-2}=1$ pour tous $(i,j).$ Comme $D$ est definie positive tous les $d_i$ sont positifs et egaux et $D=dI_n$. Reponse donc $P$ est un multiple d'une matrice orthogonale.
  • Gon
    Gon
    @P, je n’ai pas lu ton corrigé car je veux juste une indication... si tu fais mon exercice, ce n’est pas cool .
    Peux-tu me donner une indication stp et cacher ton résultat.

    Merci .
  • Guego
    Guego
    Si c'est une isométrie, alors pour toutes matrices $M$ et $N$, on a $\langle M,N \rangle =\langle P^{-1}MP,P^{-1}NP \rangle$. Or, tu peux montrer que le deuxième produit scalaire est égal à $\langle M,Q^{-1}NQ \rangle$ pour une certaine matrice $Q$ (qui s'exprime à l'aide de $P$). Et à partir de là, ça n'est plus trop compliqué.
  • Gon
    Gon
    Ok merci là je suis dans un véhicule. Étant chez moi je vais prendre la peine de lire correctement vos indications.
    Merci à vous .
  • Gon
    Gon
    Bonsoir @Guego, merci, je crois que je n'ai pas véritablement cherché (désolé).

    Soit $P \in GL_{n}(R)$
    Considérons l'application

    $\begin{array}{ccccc}
    \varphi & : & M_{n}(R) & \to & M_{n}(R) \\
    & & M & \mapsto & P^{-1}.M.P \\
    \end{array}$.

    On cherche les $P$ telles que $\varphi$ soit une isométrie.

    $\varphi$ est une isométrie si et seulement si pour tout $M,N \in M_{n}(R)$ , on a: $<\varphi(M),\varphi(N)>=<M,N>$ ce qui équivaut à
    (*) $<M,N>=<M,Q^{-1}.N.Q>$ où $Q=PP^{T}$ (qui est une matrice symétrique) ce résultat étant valable pour toutes matrices $M$ et $N$.
    on a (*) qui est équivalent à $<M,N-Q^{-1}.N.Q>=0$ pout tout couple $(M,N) \in (M_{n}(R))^{2}$.
    Ainsi pour $N\in M_{n}(R)$, on a $<M,N-Q^{-1}.N.Q>=0$ pour toute matrice $M$, on en déduit que $N=Q^{-1}.N.Q$.
    Par identification, on en déduit que $Q=I_{n}$ càd $P$ est une matrice orthogonale.

    Conclusion: $\varphi$ est une isométrie si $P$ est une matrice orthogonale.
  • P.
    P.
    Ou presque.
  • Gon
    Gon
    Ou presque ? @P, je ne comprends pas ce que tu veux dire.
  • Gon
    Gon
    Ah oui, je vois.

    pour tout $N\in M_{n}(R)$ , on a $Q^{-1}.NQ=N$ donc $Q$ commute avec toute matrice $N$, donc c'est une matrice scalaire càd que $Q=\lambda.I_{n}$ où $\lambda \in \mathbb{R}$ mais comme $Q$ est une matrice symétrique de spectre positif, on a $\lambda>0$.

    Ainsi $\frac{1}{\sqrt{\lambda}}.P$ est une matrice orthogonale.
  • Gon
    Gon
    Du coup @P, ta manière de poser ta matrice $P$, c'est comme-ci tu connaissais déjà le résultat.
    Qu'est-ce qui t'a poussée à poser $P$ de cette forme stp?
  • Guego
    Guego
    Je réponds à la place de P. : c'est un résultat classique qui s'appelle la décomposition polaire. Toute matrice inversible réelle s'écrit sous la forme $SQ$ avec $S$ symétrique définie positive et $Q$ orthogonale. C'est l'équivalent pour les matrices de l'écriture $\rho e^{it}$ des complexes.
  • Gon
    Gon
    Ah d'accord merci @Guego, du coup le choix de la matrice diagonale $D$ est la plus naturelle car toute matrice symétrique réelle est diagonalisable(donc semblable à une matrice diagonale)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 7

Lirone93 +6 Invités