Orthogonalité.
Bonjour/Bonsoir (selon l'heure :-D).
Pour la première question, de tête, on sait que $E_{i,j}.M=L_{j}(M)$ et $M.E_{i,j}=C_{i}(M)$ où $L_{j}$ et $C_{i}$ sont respectivement ligne et colonne de $M$,donc on en déduit facilement le résultat demandé.
Je sèche sur la deuxième question de mon exercice, svp pouvez-vous me donner une indication?
Merci d'avance.
Pour la première question, de tête, on sait que $E_{i,j}.M=L_{j}(M)$ et $M.E_{i,j}=C_{i}(M)$ où $L_{j}$ et $C_{i}$ sont respectivement ligne et colonne de $M$,donc on en déduit facilement le résultat demandé.
Je sèche sur la deuxième question de mon exercice, svp pouvez-vous me donner une indication?
Merci d'avance.
Réponses
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Ecrivons $P=DU$ ou $U$ est orthogonale et $D$ est definie positive. Sans perte de generalite on suppose $D=\mathrm{diag}(d_1,\ldots,d_n).$ Alors
$$\mathrm{trace}(M^TM)=\mathrm{trace}(U^TDM^TD^{-1}UU^TD^{-1}MDU)=\mathrm{trace}((D^{-2}M)^T(MD^2)).$$Or $D^{-2 }M=(m_{ij}d_i^{-2}),\ \ MD^2=(m_{ij}d_j^{2})$. Donc pour tout $M$ on a
$$\sum_{ij}m_{ij}^2=\sum_{ij}m_{ij}^2d_j^2d_i^{-2}$$ ce qui entraine $d_j^2d_i^{-2}=1$ pour tous $(i,j).$ Comme $D$ est definie positive tous les $d_i$ sont positifs et egaux et $D=dI_n$. Reponse donc $P$ est un multiple d'une matrice orthogonale. -
Si c'est une isométrie, alors pour toutes matrices $M$ et $N$, on a $\langle M,N \rangle =\langle P^{-1}MP,P^{-1}NP \rangle$. Or, tu peux montrer que le deuxième produit scalaire est égal à $\langle M,Q^{-1}NQ \rangle$ pour une certaine matrice $Q$ (qui s'exprime à l'aide de $P$). Et à partir de là, ça n'est plus trop compliqué.
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Ok merci là je suis dans un véhicule. Étant chez moi je vais prendre la peine de lire correctement vos indications.
Merci à vous . -
Bonsoir @Guego, merci, je crois que je n'ai pas véritablement cherché (désolé).
Soit $P \in GL_{n}(R)$
Considérons l'application
$\begin{array}{ccccc}
\varphi & : & M_{n}(R) & \to & M_{n}(R) \\
& & M & \mapsto & P^{-1}.M.P \\
\end{array}$.
On cherche les $P$ telles que $\varphi$ soit une isométrie.
$\varphi$ est une isométrie si et seulement si pour tout $M,N \in M_{n}(R)$ , on a: $<\varphi(M),\varphi(N)>=<M,N>$ ce qui équivaut à
(*) $<M,N>=<M,Q^{-1}.N.Q>$ où $Q=PP^{T}$ (qui est une matrice symétrique) ce résultat étant valable pour toutes matrices $M$ et $N$.
on a (*) qui est équivalent à $<M,N-Q^{-1}.N.Q>=0$ pout tout couple $(M,N) \in (M_{n}(R))^{2}$.
Ainsi pour $N\in M_{n}(R)$, on a $<M,N-Q^{-1}.N.Q>=0$ pour toute matrice $M$, on en déduit que $N=Q^{-1}.N.Q$.
Par identification, on en déduit que $Q=I_{n}$ càd $P$ est une matrice orthogonale.
Conclusion: $\varphi$ est une isométrie si $P$ est une matrice orthogonale. -
Ou presque.
-
Ah oui, je vois.
pour tout $N\in M_{n}(R)$ , on a $Q^{-1}.NQ=N$ donc $Q$ commute avec toute matrice $N$, donc c'est une matrice scalaire càd que $Q=\lambda.I_{n}$ où $\lambda \in \mathbb{R}$ mais comme $Q$ est une matrice symétrique de spectre positif, on a $\lambda>0$.
Ainsi $\frac{1}{\sqrt{\lambda}}.P$ est une matrice orthogonale. -
Je réponds à la place de P. : c'est un résultat classique qui s'appelle la décomposition polaire. Toute matrice inversible réelle s'écrit sous la forme $SQ$ avec $S$ symétrique définie positive et $Q$ orthogonale. C'est l'équivalent pour les matrices de l'écriture $\rho e^{it}$ des complexes.
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