Revêtement étale du groupe multiplicatif
Bonjour à tout.es.
Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$. Soit $n$ un entier premier à $p$. On regarde le groupe multiplicatif sur $k$,
$\mathbb{G}=Spec(k[x,x^{-1}])$, et ce morphisme de groupes : $\mu: \mathbb{G}_m\rightarrow \mathbb{G}_m$ donné sur le foncteur de points par: pour tout $k$-schéma $T$, $\mu_T: (\mathcal{O}_T(T))^*\rightarrow (\mathcal{O}_T(T))^*, \ t\mapsto t^n$.
Alors je lis partout que ce morphisme est un revêtement étale du groupe multiplicatif. Mais j'ai un soucis, je n'arrive pas à voir que c'est un épimorphisme dans la catégorie des schémas en groupes sur $k$.
En fait je pense que c'est simple mais comme on a que l'application sur le foncteur de points, je m'embrouille un peu.
Quelqu'un peut m'aider ?
Merci d'avance !
Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$. Soit $n$ un entier premier à $p$. On regarde le groupe multiplicatif sur $k$,
$\mathbb{G}=Spec(k[x,x^{-1}])$, et ce morphisme de groupes : $\mu: \mathbb{G}_m\rightarrow \mathbb{G}_m$ donné sur le foncteur de points par: pour tout $k$-schéma $T$, $\mu_T: (\mathcal{O}_T(T))^*\rightarrow (\mathcal{O}_T(T))^*, \ t\mapsto t^n$.
Alors je lis partout que ce morphisme est un revêtement étale du groupe multiplicatif. Mais j'ai un soucis, je n'arrive pas à voir que c'est un épimorphisme dans la catégorie des schémas en groupes sur $k$.
En fait je pense que c'est simple mais comme on a que l'application sur le foncteur de points, je m'embrouille un peu.
Quelqu'un peut m'aider ?
Merci d'avance !
Réponses
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Je ne m'y connais pas, mais il n'y a pas un résultat (je sais qu'il existe des trucs de ce genre) qui te dit qu'il suffit de tester sur les corps algébriquement clos ? Voire sur $\overline k$ ?
L'idée étant certainement que tout le monde peut être recouvert (étale-ment ou Zariski-ment, je ne sais plus) par des trucs qui se ramènent à des corps algébriquement clos. Mais comme je l'ai dit, je ne m'y connais pas
(Ou bien peut-être que directement $A\to A[t]/(t^n-a)$ est une bonne flèche pour tout $a$, parce que $n$ est inversible) -
Hello,
C'est amusant dans SGA1, la notion de " revêtement étale " ne semble pas faire intervenir de condition de surjectivité (enfin d'épimorphisme) ! -
Salut !
Mais oui j'ai vu ça ! Je trouve ça assez étrange quand même si on veut que ça colle un peu avec la notion topologique.
En tout cas dans l'article que je lis, il disent bien qu'il faut un épimorphisme. -
Tu peux mettre en lien ton document ?
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La définition est donnée en première page, juste au début de l'introduction.
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Bobito : idéalement, la notion de revêtement en topologie ne requiert pas la surjectivité. Ça permet d'énoncer de manière moins trafiquotée la correspondance de Galois dans ce contexte.
Il s'avère que si la base est connexe et l'espace total est non vide, alors c'est surjectif -
Ok, je ne savais pas, merci de l'info
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Ah oui en fait c'est assez simple je n'y pensais plus : Un morphisme étale est ouvert et un morphisme fini est fermé. D'où ta dernière phrase :
Il s'avère que si la base est connexe et l'espace total est non vide, alors c'est surjectif :-)
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