Notation des actions de $GL_n$
Bonjour,
J'ai une question concernant la notation en algèbre, un peu dans la lignée de ce qui a été évoqué il y a quelques temps sur les formes sesquilinéaires (à gauche ou à droite ?).
L'action de $GL_n$ sur $M_n$ par équivalence, similitude, etc. est différente d'un auteur à un autre : $(P,Q).A = PAQ$ ou $PAQ^{-1}$ ou $P^{-1}AQ$ ; $P.A = PAP^{-1}$ ou $P^{-1}AP$, etc.
Qu'est-ce qui peut motiver l'une ou l'autre des notations ? J'entends : quel intérêt à choisir l'une plutôt que l'autre ? Le lien avec les changements de base est évident, mais aucune des deux notations ne l'emporte sur l'autre car présente à un moment ou un autre des inconvénients. Donc y a-t-il un choix plus "profond" ou bien est-ce juste du domaine de l'arbitraire ?
J'ai une question concernant la notation en algèbre, un peu dans la lignée de ce qui a été évoqué il y a quelques temps sur les formes sesquilinéaires (à gauche ou à droite ?).
L'action de $GL_n$ sur $M_n$ par équivalence, similitude, etc. est différente d'un auteur à un autre : $(P,Q).A = PAQ$ ou $PAQ^{-1}$ ou $P^{-1}AQ$ ; $P.A = PAP^{-1}$ ou $P^{-1}AP$, etc.
Qu'est-ce qui peut motiver l'une ou l'autre des notations ? J'entends : quel intérêt à choisir l'une plutôt que l'autre ? Le lien avec les changements de base est évident, mais aucune des deux notations ne l'emporte sur l'autre car présente à un moment ou un autre des inconvénients. Donc y a-t-il un choix plus "profond" ou bien est-ce juste du domaine de l'arbitraire ?
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Réponses
Ce choix là ensuite, ou bien sera arbitraire, ou bien pourra être intéressant au vu d'autres conventions que tu fais, ou d'autres objets que tu as
- $(P,Q)\cdot A=PAQ$ ne donne pas une action de $\mathrm{GL}_n\times\mathrm{GL}_n$ ;
- $(P,Q)\cdot A=PAQ^{-1}$ donne une action à gauche (si $g=(P,Q)$ et $g'$ à l'avenant, $g\cdot(g'\cdot A)=(gg')\cdot A$) ;
- $(P,Q)\cdot A=P^{-1}AQ$ ne donne pas une action à droite ($g\cdot(g'\cdot A)=(g'g)\cdot A$ ; il vaudrait mieux écrire $A\cdot g$ plutôt que $g\cdot A$, ce qui donne $(A\cdot g')\cdot g=A\cdot(g'g)$).
Entre les deux derniers, c'est une question de choix et de commodité. La tradition anglaise fait opérer à droite plutôt qu'à gauche, la tradition française fait plutôt l'inverse.Le choix d'un côté ou de l'autre a des avantages et des inconvénients. Deux exemples en sens contraire.
- Quand on opère un changement de base, il est assez naturel d'écrire les matrices de changement de base $P$ et $Q$ (colonnes = coordonnées des vecteurs des « nouvelles bases » dans les « anciennes bases »), ce qui conduit à $A=PA'Q^{-1}$ ou $A'=P^{-1}AQ$. Il semble préférable de préférer l'action à droite.
- A contrario, si on choisit l'option à gauche pour la conjugaison, c'est-à-dire $A'=PAP^{-1}$, on obtient les sous-espaces propres, sous-espaces caractéristiques, etc. de $A'$ en appliquant $P$ à ceux de $A$ ; si on posait $A'=P^{-1}AP$, il faudrait appliquer $P^{-1}$, c'est désagréable. Il semble préférable de préférer l'action à gauche.
Quand on regarde les changements de base pour les formes quadratiques, on a même quatre choix : $A'=PAP^{\mathsf{T}}$ ou $A'=P^{-\mathsf{T}}AP^{-1}$ (à gauche) ou $A'=P^{-1}AP^{-\mathsf{T}}$ ou $A'=P^{\mathsf{T}}AP$ (à droite). Chacun de ces choix semble le bon à un moment ou un autre...Merci de m'avoir remis dans le droit chemin rapidement, c'est à moi de faire attention maintenant et de ne pas oublier ce point :-).
[Edit : je reformule : il est naturel de redéfinir $h=f\circ g$ de sorte que $(x)h=\bigl((x)f\bigr)g$. La première application qu'on lit est la première qu'on applique.]
Ce qui est sûr, c'est que dans un contexte d'espaces vectoriels, ou plutôt de modules sur un anneau non commutatif, il est très commode de noter les applications linéaires d'un côté et la multiplication par les scalaires de l'autre. En effet, sur l'algèbre $\mathbf{H}$ des quaternions par exemple, si $X$ est un vecteur de $\mathbf{H}^n$, $q$ un quaternion et $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbf{H})$, on voudrait que $A$ décrive une application linéaire $f$ de $\mathbf{H}^n$ dans lui-même et pour cela, il faut que $A$ commute à $q$. Or $qA\ne Aq$ en général. La solution, c'est d'écrire $Xq$ pour le produit par un scalaire et $AX$ pour l'image de $X$ par $f$. On a bien $(AX)q=A(Xq)$, c'est commode.
Certaines personnes préconisent d'ailleurs de remplacer $f\circ g$ par $g;f$ pour cette raison