Dual limite inductive d'algèbres de Hopf

bobito · June 2020

Bonjour,

Soient $((A_n)_{n\in \mathbb{N}},f_n^*)$ un système projectif d'algèbres de Hopf de dimension finie.

On note $B:=\varinjlim (A_n)^*$ où la limite est prise dans la catégorie des algèbres de Hopf.

Pourquoi avons-nous $B^*=\varprojlim A_n$ dans la catégorie des algèbres, où les applications de transition sont les $f_n$?

C'est facile de voir que $B$ fait bien commuter le diagramme mais je ne tombe pas sur ce que je veux pour montrer qu'il est universel pour cette propriété.

Maxtimax · June 2020

$\hom(\varinjlim (A_n)^*, k) = \varprojlim \hom(A_n^*,k) = \varprojlim A_n^{**}$.

Bon il faut s'assurer de quelques petits trucs, mais l'idée essentielle est là.

Les trucs en question :

1- La limite inductive d'algèbres de Hopf est une structure d'algèbre de Hopf sur la limite inductive des espaces vectoriels sous-jacents. ça permet de justifier les égalités que j'ai écrites dans la catégorie des espaces vectoriels

2- Le 1- est suffisamment bien fait pour que les égalités que j'ai écrites soient des égalités d'algèbres.

3- L'isomorphisme $A_n\to A_n^{**}$ est un isomorphisme d'algèbres.