Algèbre linéaire et polynômes

Bonjour
Je coince sur quelques questions d'un exercice et je souhaiterais donc avoir un peu d'aide s'il vous plaît.

On nous donne l'application $T_{\alpha }(P)=X(X-1)P'' + (1+\alpha X)P'$ avec $P\in \R[X]$ et $\alpha \in \R$. On commence par nous demander de montrer que la restriction de $T_{\alpha } $ à $\R_{n}[X]$ définit un endomorphisme de $\R_{n}[X]$, pour ça aucun souci c'est très simple.

Ensuite, en supposant que $n=3$, on nous demande d'écrire $T_{\alpha }$ dans la base canonique de $\R_{3}[X]$, de déterminer les valeurs propres, les valeurs de $\alpha $ pour lesquelles des valeurs propres sont multiples et enfin de donner un vecteur propre pour chaque valeur propre pour $\alpha = -1$ et $\alpha = -4$. On nous demande aussi si $T_{-4}$ est diagonalisable. Là encore, aucun souci.

C'est la dernière partie qui est un peu compliquée pour moi. Là on suppose que $n>3$. On demande d'écrire $T_{\alpha }$ dans la base canonique de $\R_{n}[X]$, pour ça j'ai trouvé la relation suivante : $$ T_{\alpha }(X^i)=(2i-i^2)X^{i-1} + (i^2 + (\alpha -1)i)X^i .
$$ J'écris donc la matrice de $T_{\alpha }$ de façon normale, elle est triangulaire supérieure (comme dans le cas de $n=3$) du coup ses valeurs propres sont les éléments de la diagonale. Le premier souci vient ensuite, on nous demande les valeurs de $\alpha $ pour lesquelles il y a des valeurs propres multiples ? Du coup j'ai commencé par multiplicité 2, et j'ai trouvé une certaine relation en me basant sur la formule de $T_{\alpha }(X^i)$ qui est que $\lambda _{i} = \lambda _{i'}$ ssi $$ \alpha = -i-i'+1.$$ En me basant sur ça, j'ai trouvé que les valeurs de $\alpha $ étaient $\lbrace 0,-1,-2,\ldots,1-n,\ldots,-2n+2 \rbrace $, sauf que dans la question juste après on nous dit déterminer $\ker T_{\alpha }$ et $Im T_{\alpha }$ pour $\alpha \notin \lbrace 1-n, \ldots, -1, 0 \rbrace $. Du coup j'ai pensé avoir fait une erreur !

Second souci, on nous demande de déterminer $\ker T_{\alpha }$ pour $\alpha = -1$ et $\alpha = 0$ et de dire si $T_{0}$ est diagonalisable. Pour $\alpha =-1$ le $0$ est une valeur propre double, c'est $\lambda_{0}$ et $\lambda_{2}$. Mon idée est de calculer le sous-espace propre associé à cette valeur propre, mais les calculs sont très longs ! Je me suis perdu dedans et je ne sais pas s'il y a une autre solution.

Enfin, le dernier souci : on nous dit pour $\alpha =p-1$ avec $p\in \lbrace 1,\ldots,n\rbrace $, donner un polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $n$ tel que $T_{\alpha }(P)=0$ et en déduire le $\ker$ et sa dimension. Ça je n'ai pas su faire !
Merci par avance pour vos réponses.
Cordialement.