Actions de groupes...

Bonjour,

Soit $G$ un groupe d'ordre $s\,p^m$, avec $p$ premier ne divisant pas $s$. Dans son livre intitulé "Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes", page 56, Alain Debreil affirme ce qui suit : [l]'action de $G$ par translation à gauche étant fidèle, transformera une partie [de $G$] à $p^m$ éléments en une partie à $p^m$. [C'est moi qui mets en gras]

Voici ma question : considérons le morphisme structurel suivant\[\varphi:\left\{\begin{array}{rcl}G&\longrightarrow&\mathfrak{S}\left(G\right)\\g&\longmapsto&\varphi(g):\left\{\begin{array}{rcl}G&\longrightarrow&G\\x&\longmapsto&\varphi(g)(x)\\\end{array}\right.\\\end{array}\right.\]où l'on suppose que $\ker\,\varphi\ne\{e\}$, avec $e$ neutre de $G$. L'infidélité de cette action de groupes peut-elle transformer une partie de $G$ à $p^m$ en une partie de cardinal distinct de $p^m$ ? Plus précisément, pouvez-vous me donner un exemple d'action infidèle sur $G$ qui ne peut s'étendre à cet ensemble-ci ?\[\mathscr{E}\left(p^m\right)=\left\{\begin{array}{c|c}\mbox{X}&\mbox{X}\in\mathfrak{P}(G)\text{ et }\mbox{card}(\mbox{X})=p^m\end{array}\right\}\]

Bien cordialement,

Thierry