Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos)
Une inéquation trigonométrique
dans Algèbre
Bonjour,
Résoudre avec les complexes $\cos{x}\cos{2x}\cos{3x} \ge 1/8$.
J'ai trouvé avec un polynôme en $\cos{2x}$, mais avec les complexes je sèche !..
A+.
Résoudre avec les complexes $\cos{x}\cos{2x}\cos{3x} \ge 1/8$.
J'ai trouvé avec un polynôme en $\cos{2x}$, mais avec les complexes je sèche !..
A+.
Réponses
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Bonjour,
Quand on factorise on trouve du $\cos x$, du $\cos 2 x$ et du $2 \cos 2 x-1.$
L’équation $\cos z=t$ avec $z$ complexe et $t$ réel ne doit pas poser de problème. -
On veut résoudre l'inéquation : $\cos \theta \cos 2 \theta \cos 3 \theta \ge \frac 18$.
On a : $\cos \theta \cos 2\theta \cos 3\theta =\cos \theta (2\cos ^{2}\theta-1)(4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=8\cos ^{6}\theta -10\cos ^{4}\theta +3\cos ^{2}\theta $.
L'inéquation proposée s'écrit : $64\cos ^{6}\theta -80\cos ^{4}\theta +24\cos ^{2}\theta -1\geq 0$.
En posant $x=4\cos ^{2}\theta $, il vient : $x^{3}-5x^{2}+6x-1\geq 0$.
Etc.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
On veut résoudre l'inéquation : $ \cos \theta \cos 2 \theta \cos 3 \theta \ge \frac 18$.
La fonction $ \phi : \theta \mapsto \cos \theta \cos 2 \theta \cos 3 \theta$ est paire et $\pi$-périodique. Il suffit donc de résoudre l'inéquation proposée pour $\theta \in [0, \frac {\pi}2]$.
Dans mon précédent message, je montre qu'en posant $x=4 \cos^2 \theta$, cette inéquation devient : $ x^{3}-5x^{2}+6x-1\geq 0$.
WolframAlpha me dit que ce polynôme $ f(x)=x^{3}-5x^{2}+6x-1$ a trois zéros dans $[0,4]$, et que l'expression de ces zéros ne se simplifie pas.
L'inéquation est résolue, mais ce n'est pas joli-joli : je me demande d'où vient ce curieux énoncé.
Bonne journée quand même.
Fr. Ch. -
RE
L'exercice provient de Ramis-Deschamps-Odoux 1993 et figure dans le chapitre Nombres complexes (!).
A+Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos) -
Peut-être qu'il faut comprendre : résoudre en utilisant les nombres complexes (ce qui n'empêche pas l'inconnue $x$ d'être réelle).
Et peut-être qu'il y a une erreur d'énoncé, et qu'il faut remplacer $1/8$ par $1/4$. -
Je pense que j'ai trouvé.
Si on linéarise l'équation, ça passe tout seul !
On se retrouve avec une somme géométrique de raison $e^{2i\theta}$ et on peut finir la résolution. -
Oui, j'ai pensé à une erreur d'énoncé, avec un autre second membre pour avoir des solutions présentables, mais je n'ai pas regardé plus loin. Je n'avais pas retenu l'obligation d'utiliser les complexes.
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Merci pour vos participationsIl arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos)
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Je détaille un tout petit peu.
La fonction $f:x\mapsto 8\cos(x)\cos(2x)\cos(3x)-1$ est paire et $\pi$-périodique donc on peut se contenter de résoudre sur $I=[0,\pi/2]$.
Soit $x\in ]0,\pi/2]$.
Alors \[\begin{align}f(x)&=(e^{ix}+e^{-ix})(e^{2ix}+e^{-2ix})(e^{3ix}+e^{-3ix})-1\\ &=e^{6ix}+e^{4ix}+e^{2ix}+1+e^{-2ix}+e^{-4ix}+e^{-6ix}\\
&=e^{-6ix}\frac{e^{14ix}-1}{e^{2ix}-1}\\
&=\frac{e^{7ix}-e^{-7ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}\\
&=\frac{\sin(7x)}{\sin(x)}\end{align}\]
Ainsi $f(x)\geq 0 \Leftrightarrow \sin(7x)\geq 0 \Leftrightarrow x\in [0,\pi/7]\cup[2\pi/7,3\pi/7]$ -
Bien vu Bisam (tu)
-
Facile après coup et sans complexe(s) ;-).
Avec les formules de trigo : $\sin 2x=2 \sin x \cos x$ et $2 \sin a \cos b = \sin (a+b)+ \sin (a-b)$, on a :
$\sin x \cdot 8\cos x \cos 2x \cos3x= 2 \sin x \cos x \cdot 4 \cos 2x \cos3x$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~= 4 \sin 2x \cos 2x \cos3x=2 \sin 4x \cos 3x=\sin 7x +\sin x $,
d'où : $\sin x (8\cos x \cos 2x \cos3x -1)= \sin 7x $.
Bonne journée.
Fr. Ch.
19/07/2020
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