Une inéquation trigonométrique

Bonjour,

Quand on factorise on trouve du $\cos x$, du $\cos 2 x$ et du $2 \cos 2 x-1.$

L’équation $\cos z=t$ avec $z$ complexe et $t$ réel ne doit pas poser de problème.

On veut résoudre l'inéquation : $ \cos \theta \cos 2 \theta \cos 3 \theta \ge \frac 18$.
La fonction $ \phi : \theta \mapsto \cos \theta \cos 2 \theta \cos 3 \theta$ est paire et $\pi$-périodique. Il suffit donc de résoudre l'inéquation proposée pour $\theta \in [0, \frac {\pi}2]$.
Dans mon précédent message, je montre qu'en posant $x=4 \cos^2 \theta$, cette inéquation devient : $ x^{3}-5x^{2}+6x-1\geq 0$.
WolframAlpha me dit que ce polynôme $ f(x)=x^{3}-5x^{2}+6x-1$ a trois zéros dans $[0,4]$, et que l'expression de ces zéros ne se simplifie pas.
L'inéquation est résolue, mais ce n'est pas joli-joli : je me demande d'où vient ce curieux énoncé.
Bonne journée quand même.
Fr. Ch.

Peut-être qu'il faut comprendre : résoudre en utilisant les nombres complexes (ce qui n'empêche pas l'inconnue $x$ d'être réelle).

Et peut-être qu'il y a une erreur d'énoncé, et qu'il faut remplacer $1/8$ par $1/4$.

Oui, j'ai pensé à une erreur d'énoncé, avec un autre second membre pour avoir des solutions présentables, mais je n'ai pas regardé plus loin. Je n'avais pas retenu l'obligation d'utiliser les complexes.

Je détaille un tout petit peu.
La fonction $f:x\mapsto 8\cos(x)\cos(2x)\cos(3x)-1$ est paire et $\pi$-périodique donc on peut se contenter de résoudre sur $I=[0,\pi/2]$.
Soit $x\in ]0,\pi/2]$.
Alors \[\begin{align}f(x)&=(e^{ix}+e^{-ix})(e^{2ix}+e^{-2ix})(e^{3ix}+e^{-3ix})-1\\ &=e^{6ix}+e^{4ix}+e^{2ix}+1+e^{-2ix}+e^{-4ix}+e^{-6ix}\\
&=e^{-6ix}\frac{e^{14ix}-1}{e^{2ix}-1}\\
&=\frac{e^{7ix}-e^{-7ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}\\
&=\frac{\sin(7x)}{\sin(x)}\end{align}\]
Ainsi $f(x)\geq 0 \Leftrightarrow \sin(7x)\geq 0 \Leftrightarrow x\in [0,\pi/7]\cup[2\pi/7,3\pi/7]$

Facile après coup et sans complexe(s) ;-).

Avec les formules de trigo : $\sin 2x=2 \sin x \cos x$ et $2 \sin a \cos b = \sin (a+b)+ \sin (a-b)$, on a :

$\sin x \cdot 8\cos x \cos 2x \cos3x= 2 \sin x \cos x \cdot 4 \cos 2x \cos3x$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~= 4 \sin 2x \cos 2x \cos3x=2 \sin 4x \cos 3x=\sin 7x +\sin x $,
d'où : $\sin x (8\cos x \cos 2x \cos3x -1)= \sin 7x $.

Bonne journée.
Fr. Ch.
19/07/2020