A-module simple

Julia Paule · June 2020

Bonjour
La 2ème question de cet exercice me parait fausse.

On dit que M est un A-module simple s'il est non nul et si ses seuls sous-modules sont (0) et M.

Une 1ère question était de montrer qu'un A-module M non nul est simple <=> il est engendré par chacun de ses éléments non nuls : ok pour ça.

2) Si M, M' et M" sont des A-modules, montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
i) M est un A-module simple
ii) si f est un morphisme non nul de A-modules de M dans M', alors f est surjectif
iii) si f est un morphisme non nul de A-modules de M" dans M, alors f est injectif.

i) => ii) me parait faux : par exemple, Q est un Q-module simple, R est un Q-module, et l'injection de Q dans R (morphisme de Q-modules) n'est pas surjective.

Merci d'avance.

Chat-maths · June 2020

L'implication $(i) \Rightarrow (iii)$ me parait aussi douteuse: si je prends $M$ un $A$-module simple, la projection $A \oplus M \to M$ est non nulle sans être injective (sauf si $A$ est l'anneau nul, mais bon, pas très intéressant comme cas).

Je pense que le bon énoncé serait plutôt de montrer que les propositions suivantes sont équivalentes:

$i)$ $M$ est un $A$-module simple
$ii)$ Si $f: M' \to M$ est un morphisme non nul (de $A$-modules), alors $f$ est surjectif.
$iii)$ Si $f: M \to M''$ est un morphisme non nul (de $A$-modules), alors $f$ est injectif.

Julia Paule · June 2020

Merci Chat-maths. Cela marche dans ce sens-là :-). Cet exercice est tiré d'un livre.

A-module simple

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