A-module simple
dans Algèbre
Bonjour
La 2ème question de cet exercice me parait fausse.
On dit que M est un A-module simple s'il est non nul et si ses seuls sous-modules sont (0) et M.
Une 1ère question était de montrer qu'un A-module M non nul est simple <=> il est engendré par chacun de ses éléments non nuls : ok pour ça.
2) Si M, M' et M" sont des A-modules, montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
i) M est un A-module simple
ii) si f est un morphisme non nul de A-modules de M dans M', alors f est surjectif
iii) si f est un morphisme non nul de A-modules de M" dans M, alors f est injectif.
i) => ii) me parait faux : par exemple, Q est un Q-module simple, R est un Q-module, et l'injection de Q dans R (morphisme de Q-modules) n'est pas surjective.
Merci d'avance.
La 2ème question de cet exercice me parait fausse.
On dit que M est un A-module simple s'il est non nul et si ses seuls sous-modules sont (0) et M.
Une 1ère question était de montrer qu'un A-module M non nul est simple <=> il est engendré par chacun de ses éléments non nuls : ok pour ça.
2) Si M, M' et M" sont des A-modules, montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
i) M est un A-module simple
ii) si f est un morphisme non nul de A-modules de M dans M', alors f est surjectif
iii) si f est un morphisme non nul de A-modules de M" dans M, alors f est injectif.
i) => ii) me parait faux : par exemple, Q est un Q-module simple, R est un Q-module, et l'injection de Q dans R (morphisme de Q-modules) n'est pas surjective.
Merci d'avance.
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Réponses
Je pense que le bon énoncé serait plutôt de montrer que les propositions suivantes sont équivalentes:
$i)$ $M$ est un $A$-module simple
$ii)$ Si $f: M' \to M$ est un morphisme non nul (de $A$-modules), alors $f$ est surjectif.
$iii)$ Si $f: M \to M''$ est un morphisme non nul (de $A$-modules), alors $f$ est injectif.