Composition de polynômes
dans Algèbre
Bonjour
1) Dans mon livre, il est dit que si $f$ et $g$ sont deux polynômes de $A[X]$ (où $A$ désigne un anneau commutatif et unitaire), alors $\deg (f \circ g)=\deg (f) \deg (g)$. Cela me parait erroné : cas où $A$ n'est pas intègre ?
2) Par ailleurs, si $\widetilde f$ désigne la fonction polynôme associée au polynôme $f$, alors :
si $f$ n'est pas un polynôme constant, et si $g \ne 0$ dans $A[X]$, alors $\widetilde {(f \circ g)} = \widetilde f \circ \widetilde g$.
Je ne comprends pas pourquoi on exclut ces 2 cas.
Merci d'avance pour votre éclaircissement.
1) Dans mon livre, il est dit que si $f$ et $g$ sont deux polynômes de $A[X]$ (où $A$ désigne un anneau commutatif et unitaire), alors $\deg (f \circ g)=\deg (f) \deg (g)$. Cela me parait erroné : cas où $A$ n'est pas intègre ?
2) Par ailleurs, si $\widetilde f$ désigne la fonction polynôme associée au polynôme $f$, alors :
si $f$ n'est pas un polynôme constant, et si $g \ne 0$ dans $A[X]$, alors $\widetilde {(f \circ g)} = \widetilde f \circ \widetilde g$.
Je ne comprends pas pourquoi on exclut ces 2 cas.
Merci d'avance pour votre éclaircissement.
Réponses
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Pour 1), il faut sûrement rajouter "unitaires" ou quelque chose comme ça, tu as tout à fait raison ($f=g=2X$ et $A=\Z/4\Z$)
Pour 2), il n'y a pas de raison de les exclure. -
Merci Maxtimax. Avec g unitaire, c'est bon.
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Il faut aussi exclure les cas où g est constant, non nul, et égal à une racine de f.
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Bonjour,
Merci bisam. Pourquoi "aussi", rien n'a été exclu jusqu'à présent ?
Si $g$ est constant, non nul, égal à une racine de $f$, disons $c$, $\widetilde f \circ \tilde g = \widetilde f (c) = 0$ et $\widetilde {f \circ g} = \widetilde {f (c)} = \tilde 0 = 0$.
Je ne vois pas pourquoi il faut l'exclure ? -
Le remarque de bisam concerne la propriété 1).
Cela serait bien de mettre des énoncés complets ou une capture d'écran car cela me semble étonnant qu'un livre oublie autant de conditions. -
Merci. Je n'ai fait que transcrire mot pour mot l'énoncé de mon livre. Moi aussi, cela m'étonne une telle lacune dans un livre, c'est pourquoi j'ai posé la question après avoir cherché en tout sens des préliminaires à cet énoncé. Mais non, il n'y en a aucun : f et g sont deux polynômes de A[X] avec A commutatif et unitaire.
En effet, il faut exclure aussi le cas g=racine de f dans la propriété 1. Il faut exclure aussi le cas où g est nul ? -
Pour la propriété 1), Il est plus sage de se limiter aux cas où le degré de $g$ est supérieur ou égal à 1.
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Bonjour!
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