3ème théorème d'isomorphisme, preuve treillis

Bonjour,

je me suis rendu au troisième théorème d'isomorphisme dans le livre "'Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes" de Alain Debreil page 83, et quelque chose me bloque. Je me permets de reprendre l'une de ses réponses où il donne la démonstration de ce théorème (on peut retrouver cette dernière ici : [ les-mathématiques.net ]) :

$G$ groupe et $H\subset K\subset G$ des sous-groupes distingués dans $G$ ($H\lhd G$ et $ K\lhd G$), alors $\dfrac G K \simeq \dfrac{G/H}{K/H}$.

Nous allons considérer le treillis des sous-groupes de $G$, que l'on notera $\mathscr L(G)$, et le sous-treillis des sous-groupes de $G$ contenant $H$, que l'on notera $\mathscr L(G\supset H)$.
Il y a un théorème qui se montrera très utile, le théorème de correspondance [ fr.wikiversity.org ] et que j'appellerai de manière plus explicite le théorème du treillis-quotient. Avec les treillis de sous-groupes, ce théorème dit tout simplement que $$\mathscr L(G/H) \simeq \mathscr L(G\supset H)$$ Le treillis du quotient $G/H$ est isomorphe (en tant que treillis) au sous-treillis des sous-groupes de $G$ contenant $H$. Sur le schéma ci-dessous, le treillis de $G/H$ est représenté en blanc à droite, entouré de tirets est donc identique au sous-treillis en blanc à gauche, entouré de tirets compris entre les groupes $G$ et $H$.

Si $K$ est un sous-groupe distingué de $G$ contenant $H$, par la surjection canonique, $K$ s'envoie sur le quotient en $K/H$ qui est donc lui aussi distingué dans $G/H$ (th du treillis-quotient). Comme les treillis entourés de tirets sont identiques, les deux sous-treillis en grisé sombre sont eux aussi identiques, c'est-à-dire $\mathscr L(G\supset K) \simeq
\mathscr L(G/H\supset K/H)$.
Le fait que la correspondance du treillis-quotient soit induite par un morphisme (la surjection canonique) fait que l'identité des sous-treillis ci-dessus induit un isomorphisme de groupes $ G/ K \simeq (G/H)/(K/H)$.





Ce sont les deux dernières lignes qui me perturbent. L'un des résultats présents dans ce livre est que, lorsque l'on dispose d'un morphisme entre deux groupes G et K, on dispose d'applications entre les treillis de ces groupes : l'image directe par f et l'image réciproque par f. De plus, on établit que f est un isomorphisme de groupes si et seulement si ces deux applications (image directe et image réciproque) sont des isomorphismes de treillis nivelés : d'où la phrase "Si l'isomorphisme de treillis nivelés est induit par le morphisme de groupes f, alors f est un isomorphisme de groupes".
Toutefois, même si on a l'isomorphisme de treillis $\mathscr L(G\supset K) \simeq
\mathscr L(G/H\supset K/H)$ induit par $\pi$, je n'arrive pas à me convaincre que $ G/ K \simeq (G/H)/(K/H)$ et ce même si $\mathscr L(G\supset K) \simeq \mathscr L(G/K) $ par exemple. Dans ma tête, il faudrait que le morphisme $\pi$ puisse être défini sur $G/K$ et être à valeurs dans $(G/H)/(K/H)$ pour aboutir selon les résultats que j'ai cité plus haut. Je ne vois certainement pas à travers les lignes, et je fais un blocage sur quelque chose de formel.

Pourriez-vous m'expliquer comment aboutir à la fin de la démonstration ? Merci.