Bonjour, je n'ai pas pu montrer la première question :-S.
Mais dans la correction, je ne comprends pas qu'est-ce qui a amené l'auteur à considérer un $n+1$-uplet de scalaires non nuls.
Pouvez-vous me l'expliquer svp?
Merci d'avance pour votre aide.
Clairement, c'est l'astuce de quelqu'un qui a en tête la méthode pour aboutir.
Cependant, on peut remarquer que l'on cherche à obtenir une combinaison linéaire des vecteurs $(v_1,\dots,v_{n+1})$ telle que la somme des coefficients soit égale à 1.
On constate que si on obtient une combinaison linéaire nulle avec la somme des coefficients qui n'est pas nulle, il suffira de diviser par cette somme pour conclure.
Enfin, on sait qu'il existe une combinaison linéaire des vecteurs $(v_1,\dots,v_{n+1})$ qui soit égale au vecteur nul, sans que les coefficients soient tous nuls car le nombre de vecteurs est strictement plus grand que la dimension de l'espace ambiant.
On peut donc se dire que c'est une bonne piste de partir de là.
En fait, c'est exactement ce que démontre le corrigé : la contrainte sur les produits scalaires entre les vecteurs est telle qu'il n'y a plus vraiment de choix sur leur disposition.
Plus précisément, l'ensemble des $(n+1)$-uplets de réels $(\lambda_1,\dots,\lambda_{n+1})$ tels que $\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1}\lambda_iv_i=0$ est la droite vectorielle portée par $(\mu_1,\dots,\mu_{n+1})$.
Réponses
Cependant, on peut remarquer que l'on cherche à obtenir une combinaison linéaire des vecteurs $(v_1,\dots,v_{n+1})$ telle que la somme des coefficients soit égale à 1.
On constate que si on obtient une combinaison linéaire nulle avec la somme des coefficients qui n'est pas nulle, il suffira de diviser par cette somme pour conclure.
Enfin, on sait qu'il existe une combinaison linéaire des vecteurs $(v_1,\dots,v_{n+1})$ qui soit égale au vecteur nul, sans que les coefficients soient tous nuls car le nombre de vecteurs est strictement plus grand que la dimension de l'espace ambiant.
On peut donc se dire que c'est une bonne piste de partir de là.
Plus précisément, l'ensemble des $(n+1)$-uplets de réels $(\lambda_1,\dots,\lambda_{n+1})$ tels que $\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1}\lambda_iv_i=0$ est la droite vectorielle portée par $(\mu_1,\dots,\mu_{n+1})$.