L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
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dans Algèbre
Bonjour,
J'aimerais trouver des exercices corrigés du genre suivant :
Trouver l'image de telle ou telle partie du plan complexe par telle ou telle transformation.
A+
J'aimerais trouver des exercices corrigés du genre suivant :
Trouver l'image de telle ou telle partie du plan complexe par telle ou telle transformation.
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Réponses
On considère l'application $f:\C\setminus\{1\}\to \C$ définie par
\[\forall z\in\C\setminus\{1\},\quad f(z)=\dfrac{1+z}{1-z}.\]
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z\in\C\setminus\{1\}$ tels que
\[(i)~~|f(z)|=1,\quad (ii)~~|f(z)|=2,\quad (iii)~~f(z)\in\R,\quad (iv)~~f(z)\in\textrm{i} \R.\]
Souvenir lointain de Math Sup:
Soit H l'hyperbole d'équation Re(z²) = 1. Trouver et dessiner son image L par f(z) = 1/z.
Cordialement.
deux exercices que j'avais eu en DM en Licence il y a quelques années (le deuxième ressemble à celui proposé par Math Coss).
Exercice 1
On fixe $a>0$ réel. Pour $z=\rho e^{i \theta}$, avec $\rho > 0$ et $0 < \theta < \pi$, on pose $\log(z) = \ln(\rho)+i \theta$. On note $\mathcal{H}=\{z \in \mathbb{C} \, ; \, Im(z) >0\}$.
a. Montrer que pour tout $z \in \mathcal{H}$, le complexe $\displaystyle{\dfrac{z-a}{z+a}}$ a un argument dans $]0,\pi[$.
On peut donc définir $\displaystyle{h(z)=\log \Big( \dfrac{z-a}{z+a} \Big)}$ pour tout $z \in \mathcal{H}$.
b. Déterminer l'image de $\mathcal{H}$ par $h$.
c. Pour $\alpha \in ]0,\pi[$, déterminer l'image réciproque par $h$ de la droite d'équation $y = \alpha$.
d. Quelle est l'image par $h$ de la bande $\mathcal{B}=\{z \in \mathbb{C} \mid 0 < Im(z) \leq 3 \pi / 2\}$.
Exercice 2
Pour $z \neq -i$, on pose $\displaystyle{f(z)=\dfrac{z-i}{z+i}}$.
a. Déterminer l'image de l'axe réel par $f$.
b. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathcal{H}=\{z \in \mathbb{C} \mid Im(z) >0\}$ sur le dique ouvert unité $\mathcal{D}=\{z \in \mathbb{C} \mid \left| z \right| <1 \}$.
c. Pour $a \in \mathbb{R}$, déterminer l'image par $f$ de la demi-droite $\{z \in \mathbb{C} \mid Re(z)=a, \ Im(z) >0 \}$.
d. Pour $a, \, b \in \mathbb{R}$, déterminer l'image par $f$ du demi-cercle de diamètre $[a,b]$ inclus dans $\mathcal{H}$.
Si ça t'intéresse, je peux te scanner la correction (manuscrite) de mon prof de l'époque.
Et celui-ci...
Images d'une droite passant par $O$ et d'un cercle de centre $O$ par les transformations $f(z) = z/2 + 1/2z$ et $g(z) = 1/(2z + 2/z)$ ?
A+