Polynômes orthogonaux
Bonsoir, je suis bloqué sur la deuxième question de mon exercice.
J'ai essayé de faire directement en utilisant la définition d'une famille orthogonale mais je n'arrive pas à grande chose.:-S
J'avais pensé à écrire les $P_{i}$ comme des fonctions en $\varphi$, mais ça ne me mène à rien de bon, le cas où je considère les monômes $X^{i}$, je ne sais pas si c'est une bonne idée.
Je veux juste une indication pour pouvoir traiter la question 2 et poursuivre enfin le reste de mon exercice.
Merci d'avance.
J'ai essayé de faire directement en utilisant la définition d'une famille orthogonale mais je n'arrive pas à grande chose.:-S
J'avais pensé à écrire les $P_{i}$ comme des fonctions en $\varphi$, mais ça ne me mène à rien de bon, le cas où je considère les monômes $X^{i}$, je ne sais pas si c'est une bonne idée.
Je veux juste une indication pour pouvoir traiter la question 2 et poursuivre enfin le reste de mon exercice.
Merci d'avance.
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Écris le truc et intégration par parties.
Écris pour $n=1,2,3$ pour voir un peu.
@Yves, j'ai essayé de faire pour de petites valeurs de $n$, plus précisement pour $n=2$
J'ai pu montrer que $<P_{0},P_{1}>=0$
Mais j'ai un souci avec $<P_{0},P_{2}>$ qui est différent de $0$
Peut-être que je ne fais pas la bonne intégration par parties.
En effet je me place où $P_{0}=1$ et $P_{2}=X^{2}$.
On a $<P_{0},P_{2}>=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} t^{2}.e^{-t^{2}} \, \mathrm{d}t=-\frac{1}{2}.\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} t.-2t.e^{-t^{2}} \, \mathrm{d}t$.
Les hypothèses concernant le théorème d'intégration par parties pour les intégrales généralisées sont vérifiées en considérant les fonctions $U=t$ et $V^{'}=-2t.e^{-t^{2}}$.
On obtient $<P_{0},P_{2}>=\frac{1}{2}.\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}} \, \mathrm{d}t$ (sauf erreur) , c'est une quantité non nulle
-- Schnoebelen, Philippe
@NP, c'est la question $3$ qui permet de dire que l'expression de mon polynôme $P_{2}$ est fausse...
-- Schnoebelen, Philippe
En effet, j'arrive pour $n=3$ que la famille $(P_{0},P_{1},P_{2},P_{3})$ est une famille orthogonale.
On obtient que $<P_{0},P_{1}>=0$ ,$<P_{0},P_{2}>=0$ et que $<P_{1},P_{3}>=-8<P_{0},P_{1}>$, $<P_{1},P_{2}>=4<P_{0},P_{1}>$ (sauf erreur).
Je crois qu'on a pour tout entier $i \neq j$ et $j$ non nul, on a $<P_{i},P_{j}>=\lambda.<P_{0},P_{1}>$ où $\lambda \in \mathbb{R}$.
Je n'arrive pas à généraliser pour montrer que $(P_{n})$ est une famille orthogonale.
Dans l’intégrande, $P_nP_m f(t)$ tu peux isoler $P_mf(t)=f^{(m)}(t)$, tu as donc $P_n(t) f^{(n)}(t)$ qui est une somme finie de termes $t^k f^{(n)}(t)$ que tu intègres par parties. Le degré passe de $k$ à $k-1$...
Essaie.
Bonne nuit à toi.
En suivant l'indication de @YvesM:
On remplace $P_{m}(t).\varphi(t)$ par $\varphi^{(m)}(t)$.
on a donc $<P_{n},P_{m}>=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} P_{n}(t).\varphi^{(m)}(t)\, \mathrm{d}t$.
Or pour tout $k \in \{1,...n\}$, on a $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} t^{k}.\varphi^{(m)}(t)\, \mathrm{d}t=(-1)^{k}.k!.\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi^{(m-k)}(t)\, \mathrm{d}t$ (sauf erreur).
Je ne vois comment ça m'aidera à conclure...
@Chaurien, parles-tu dans de ça :
Or pour tout $k \in \{1,...n\}$, on a $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} t^{k}.\varphi^{(m)}(t)\, \mathrm{d}t=(-1)^{k}.k!.\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi^{(m-k)}(t)\, \mathrm{d}t$
Dans un premier temps, on sait que $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} P_{n}(t).P_{m}(t).e^{-t^{2}} \, \mathrm{d}t$ converge. Pour cela, il suffit d'appliquer l'un des critères de comparaison et l'un des théorèmes des croissances comparées.
Dans la suite, on suppose que $m>n$.
Pour tout couple $(P_{n},P_{m})$ de polynômes, on peut écrire que :
$<P_{n},P_{m}>=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} I_{n,m}$ où $I_{n,m}=\displaystyle \int_{-x}^{x} P_{n}(t).P_{m}(t).e^{-t^{2}} \, \mathrm{d}t$.
Comme $\varphi^{(m)}(t)=P_{m}(t).e^{-t^{2}}$.
Je considère les fonctions $U=P_{n}$ et $V^{'}=\varphi^{(m)}$. Ainsi sous vérification des hypothèses du théorème d'intégrations par parties sur un segment et en réalisant cette intégration par parties $m$ fois, on a:
$I_{n,m}=\displaystyle \int_{-x}^{x} P_{n}^{(m)}(t).\varphi^{(0)}(t) \, \mathrm{d}t$.
Comme $m>n$ , la dérivée d'ordre $m$ de $P_{n}$ est nulle.
Donc $<P_{n},P_{m}>=0$ :-D
Pour la question $3$, j'ai un peu de difficultés.
Voici à quoi je pense:
En effet, je remarque que les zéros de $\varphi^{(n)}$ sont les zéros de $P_{n}$.
Je veux donc utiliser un raisonnement par récurrence et le théorème de Rolle(aussi Rolle généralisé) pour montrer ce qu'on me demande.
Si je considère la proposition $HR(n)$:"$\varphi^{(n)}$ s'annule $n$ fois"
Mais je ne crois pas que cela rentre dans le cadre de mon exercice car je vais utiliser le résultat d'un exercice(que je connais) pour venir résoudre un autre exercice.
Pouvez-vous me donner une indication simple qui n'utilise pas le théorème de Rolle généralisé?
Merci d'avance.
Tu n’as pas écrit ni justifié que les termes intégrés sont nuls. Je suis surpris qu’un $(-1)^m$ ne soit pas présent devant l’intégrale puisque l’intégration par parties donne un $-1$...
En effet on a bien le terme le terme $(-1)^{m}$.
Pour les termes intégrés, il faut appliquer l'un des théorèmes des croissances comparées.
En effet pour tout polynôme $P$ de degré $n$, on a $P(t).e^{-t^{2}}$ tend vers $0$ quand $t$ vers $\infty$
@Chaurien, est-ce qu'il n'existe pas une méthode plus courte pour montrer le résultat de la question $3$ sans pour autant rédiger intégralement le résultat d'un autre exercice ?
Concernant le pdf, je crois que j'en ai besoin... :-D. Peux-tu me le donner?
On peut donner aussi une démonstration spécifique pour ces polynômes-ci, qui ont une définition très simple : $\varphi ^{(n)}(x)=P_n(x)\varphi(x)$. Si par hypothèse de récurrence $P_n(x)$ a $n$ zéros réels distincts, ce sont les zéros de $ \varphi ^{(n)}(x)$ et d'après le théorème de Rolle, nous avons donc $n-1$ zéros distincts de $ \varphi ^{(n+1)}(x)$, donc de $P_{n+1}(x)$.
Soient $a$ et $b$ le plus petit et le plus grand zéro de $P_n(x)$, donc de $ \varphi ^{(n)}(x)$. Si $ \varphi ^{(n+1)}(x)$ ne s'annulait pas sur $]b,+\infty[$, alors $ \varphi ^{(n+1)}(x)$ garderait un signe constant sur cet intervalle car $ \varphi ^{(n+1)}$ est continue, et la fonction $ \varphi ^{(n)}$ serait strictement monotone sur $[b,+\infty[$, ce qui est impossible car elle a pour limite $0$ en $+\infty$, et $0=f(b)$. Et de même sur $]-\infty,a[$, ce qui nous donne en tout les $n+1$ zéros souhaités pour $\varphi ^{(n+1)}$, donc pour $P_{n+1}$.
Ce n'est pas « un autre exercice », c'est juste ce qu'il faut faire pour résoudre celui-ci.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
@Side, j'ai lu attentivement la correction que tu me proposes et qui est vraiment détaillée.
Le fait que $P$ admet une racine de multiplicité impaire, j'imagine est une conséquence du fait que si ce n'était pas le cas, $u$ définie par $P(t).e^{-t^{2}}$ serait de signe constant donc le produit scalaire ne peut pas être nul, donc c'est absurde. Ce qui entraîne bien que $P$ admet au moins une racine réelle d'ordre impair.
Mais ce que je veux vraiment de demander: Comment as-tu pensé à cette idée stp? sérieusement je n'allais jamais penser à voir les choses ainsi..
@Chaurien, je ne voyais pas les choses de cette manière, je voulais utiliser le fait que si $f$ est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, admettant une limite finie $l$ en $-\infty$ et $+\infty$ alors il existe un réel $c$ tel que $f'(c)=0$.
La solution que j'ai donnée pour la question 3 s'appuie directement sur la définition spécifique de ces polynômes et ne prend pas en compte leur caractère de polynômes orthogonaux (donc la question 2), et elle donne aussi en même temps la deuxième partie de la question 4, à savoir l'enchevêtrement (pour ainsi dire), des racines de $P_n$ et de $P_{n-1}$, sans utiliser non plus l'égalité $P'_n=-2nP_{n-1}$, qui n'est donc pas à sa place d'après moi.
On pourrait donc concevoir une question 2 venant directement après la question 1 : « Montrer que $P_n$ a $n$ racines réelles distinctes et que les racines de $P_{n-1}$ séparent celles de $P_n$ ».
Bonne journée.
Fr. Ch.
Soit $I$ un intervalle de $\overline{\mathbb{R}}$ et $\varpi$ une fonction continue strictement positive sur l'intérieur $I%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion$ de $I$, telle que pour tout $n \in \mathbb N$ l'intégrale $\int_{I} t^n \varpi (t)dt$ converge. Sur le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}[X]$ on définit le produit scalaire $\langle P,Q\rangle =\int_{I}P(t)Q(t)\varpi (t)dt$.
Il existe une famille orthogonale de polynômes $(Q_n)_{n \in \mathbb N}$ telle que $ \deg Q_n=n$ pour tout $n \in \mathbb N$. Orthonormée avec coefficients dominants positifs, cette famille est unique, et se déduit de la base canonique $(X^n)_{n \in \mathbb N}$ de $\mathbb{R}[X]$ par le procédé d'orthonormalisation de Schmidt.
Ces polynômes vérifient une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coefficients polynomiaux très simples.
Ces polynômes vérifient une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients polynomiaux très simples. Cette équation différentielle permet de calculer le coefficient général de $Q_n$.
Le polynôme $Q_n$ a $n$ racines réelles distinctes, toutes situées dans $I%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion$, et les racines de $Q_{n-1}$ séparent celles de $Q_n$.
On a aussi la fonction génératrice $\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}Q_{n}(x)t^{n}$ ou bien $\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{Q_{n}(x)}{n!}t^{n}$.
Selon le choix de $I$ et $\varpi$, on obtient des familles différentes de polynômes orthogonaux. Les premiers polynômes orthogonaux dans l'histoire des mathématiques sont les polynômes de Legendre $P_n$. Puis viennent les polynômes de Tchebychev de première et seconde espèce, $T_n$ et $U_n$. Puis les polynômes de Hermite $H_n$ (qui font l'objet du présent exercice sous le déguisement $P_n$). Et je citerai encore les Laguerre $L_n$. Il y en a d'autres, mais arrêtons ici.
Quand vient la saison des espaces préhilbertiens en Maths-Spé, ces polynômes sont la providence des colleurs car chacune de ces familles a de nombreuses propriétés spécifiques, avec des possibilités de les démontrer spécifiquement comme on l'a vu ici. On ne compte plus les sujets d'écrit et d'oral qui leur sont consacrés. Tout taupin a intérêt à pratiquer ce jeu des cinq familles.
Bonne journée.
Fr. Ch.
01/07/2020
.
Merci pour tes conseils, mais peux-tu me remettre le document concernant les propriétés des polynômes orthogonaux dont tu m’avais parlé stp ?
Merci d’avance
Bonne soirée.
Fr. Ch.