Matrices (co)échelonnées lignes/colonnes

Bonjour,

Dans le tome 1 (nouvelle version) du livre de Caldero-Germoni, on a p. 204 la définition 2.1.1. d'une matrice échelonnée (réduite) en lignes (noté e(r)l dans la suite). A partir de celle-ci, on donne celle des matrices échelonnées (réduites) en colonnes (noté e(c)l dans la suite) : leurs transposées sont e(r)l.

On voit bien que la notion de matrice e(r)c n'est pas le pendant de celle de matrice e(r)l en changeant ligne par colonne et en adaptant les conditions. En effet, les auteurs donnent l'exemple de $A =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ * & 0 \\ 0 & 1 \\ * & * \end{pmatrix}$ qui est e(r)c (sa transposée est $\begin{pmatrix} 1 & * & 0 & * \\ 0 & 0 & 1 & * \end{pmatrix}$, visiblement e(r)l), mais qu'on n'a pas envie de voir comme ce que pourrait être la définition de e(r)c obtenu en remplaçant ligne par colonne et en adaptant (dès la deuxième colonne, le pivot ne "descend" pas).

C'est pour cela qu'en p. 218, la définition 3.2.1. introduit la notion de matrice co-échelonnée (réduite) en colonnes (co-e(r) dans la suite), qui se veut, si j'ai bien tout compris au film, le pendant de la notion de matrice e(r)l pour les colonnes...
Cependant, cette définition me pose deux difficultés :
-- d'abord, on ne définit pas ce qu'est le pivot d'une colonne ; on peut adapter facilement la définition de 2.1.1. : "on appelle pivot d'une colonne non nulle le coefficient non nul situé sur la ligne la plus en haut" => est-ce bien ça que les auteurs appellent pivot d'une colonne ?
-- Ensuite, le deuxième point de la définition me heurte (car il n'est pas cohérent avec la définition de 2.1.1.) : "le pivot d'une colonne est strictement plus bas que les pivots des lignes précédentes" ; j'imagine qu'il faut lire "des colonnes précédentes", sinon... ?? :-S (N.B. : on a exactement la même définition dans le tome 1 première version...)

Je ne suis pas certain que ce soit si simple. En effet, d'abord, pourquoi la matrice $A$ ci-dessus n'est pas co-e ? Elle vérifie bien les deux points "corrigés" de la définition 3.2.1.
On pourra toujours dire qu'a priori, rien n'interdit qu'une matrice soit les deux en même temps. On peut essayer de voir ce qui se passe dans ce cas avec le lemme 3.2.3., en utilisant la formule de l'automorphisme qui transforme une matrice erc en co-e. Or, les permutations $\sigma_0$ étant involutives, on a $P_n=(P_n)^{-1}$ (en omettant $\sigma_0$ dans la notation), donc si $M'=P_nMP_m^{-1}=P_nMP_m$, on a $M=P_nM'P_m$. Dès lors, si $M$ est à la fois erc et co-e, alors son image vérifie la même propriété.

Appliquant ceci à $A$ que l'on suppose à la fois erc et co-e, son image $B=P_4AP_2= \begin{pmatrix} x & x \\ 1 & 0 \\ 0 & * \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (on inverse symétriquement les lignes puis les colonnes – ou les colonnes puis les lignes – par rapport au "milieu" de la matrice), qui n'est visiblement pas co-e puisque le pivot de la deuxième colonne n'est pas strictement plus bas que le pivot de la première colonne.

Bon, je m'arrête là, je m'embrouille (peut-être que le support m'y aide) et ou bien j'ai écrit plein de bêtises, ou bien il faut une version 3 au livre ;-) !

Alors si quelqu'un a déjà étudié ce passage, je suis preneur d'éclaircissements en m'indiquant où je me trompe (mon interprétation des définitions, l'utilisation des matrices de permutation, ... ?).