Hyperplan affine

Encore un verre d'eau ?
Tu as tout écrit en mettant $(1,0,0)+H$ !
Quelle est l'équation de $H$ ? Peux-tu donner une base de cet espace vectoriel ?

Allez, (1,0,0) est bien

Recette de cuisine qu'on dit aux terminales : fais comme si la constante avait disparu (c'est en gros le but de la géométrie affine, de pouvoir faire des droites qui ne passent pas par 0).
Il te reste un plan (celui que tu as en décalé) x + y + z = 0.

Modeste leçon de géométrie affine à l'usage des honnêtes gens :

Débarque dans une classe de prépa, trace une droite y = x + 1 dans un repère et demande aux élèves "Quel est l'objet que j'ai tracé ?". Ils répondront "UNE DROITE" avec enthousiasme. Mais tu t'empresseras de dire "OBJECTION !". Et t'appuyant sur leur programme, tu leur diras "Vous qui n'avez fait que de l'algèbre linéaire, ne savez-vous pas qu'une droite passe par 0 ?".

Tu les auras mis en position délicate. Ils savent ce qu'est une droite. Mais tu les as piégés. Tu te dois de les rassurer. Vae victis peut-être, mais les grands généraux savaient être cléments.

Tu leur diras donc "N'ayez crainte, il existe un art ancestral, maîtrisé par le peuple d'Affinie, permettant de combler cette lacune".
Et tu leur expliqueras qu'ils connaissent les points du plan, et pas seulement les vecteurs comme en algèbre linéaire, et que la géométrie affine sert à unifier ces deux notions selon le principe ancestral :

"AFFINE = POINT + ESPACE VECTORIEL"
(Corinthiens, IV.2.7)

Que les vulgarisateurs ont aussi écrit :
"Affiner, c'est seulement décaler un espace vectoriel en le faisant passer par le point qu'on veut, et non forcement par 0"
(Saint-Augustin, Confessions affines)

Dans le cas qui nous intéresse :
Affine = point + espace vectoriel

Le point ? C'est celui que t'as trouvé.

L'espace vectoriel ? C'est celui donné par la même équation simplifiée selon le sage conseil de Saint-Augustin, en remettant le plan en 0 (ie en le décalant ou si tu préfères en prenant un parallèle).
Il est absolument CLAIR, et c'est le principe de la géométrie affine, que ce nouveau plan a même direction que l'original (il est même plus vrai que nature car c'est carrément lui la direction).
Trouver une base de x + y + z = 0 renvoie à l'algèbre linéaire (Ancien Testament pour les méthodes, mais j'ose espérer que ça va ça).

Heu...
Exemple de : "on ne tombe pas toujours sur des hyperplans où on connaît des résultats de cours" please ?

Mais tu as déjà tout écrit quand tu as écrit "$\mathbb{H} = (1, 0, 0) + H$"!

C'est quoi l'ensemble $(1, 0, 0) + H$? C'est $\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3\,|\,\exists (u, v, w) \in H,\, (x, y, z) = (u+1, v, w)\}$. Ok? Donc tu as

$\mathbb{H} = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3\,\mid\,x + y + z = 1\} =\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3\ |\ \exists (u, v, w) \in H,\, (x, y, z) = (u+1, v, w)\}$.

Tu as tout ce qu'il faut pour trouver $H$ et son équation avec ça.

Tu as l'air de bloquer sur les symboles sans te demander ce qu'ils représentent, tu devrais peut-être passer plus de temps sur les exos que cc te donne, car c'est le genre de choses qu'ils te font travailler.

Je plaide coupable, j'avais rien retenu du chapitre sur les espaces affines quand j'étais en prépa 1ere année, c'était le dernier chapitre, il restait 1 semaine avant de partir en vacances.

x+y+z = 1
xA+yA+zA = 1

Alors :
(x-xA) + (y-yA) + (z-zA) = 0
AM appartient donc au plan vectoriel d'équation X + Y + Z = 0

Et réciproquement, si AM appartient à ce plan alors x + y + z = xA + yA + yZ = 1 donc M appartient au plan affine


Ca se généralise pour n'importe quel espace affine. Montre moi qu'avec (E) : y'' + ay' + by = c (avec a,b,c fonctions continues)
Si y0 est solution particulière alors toute solution de (E) est somme de la solution particulière et d'une solution de l'équation homogène etc.

Oshine a écrit:

En fait le cours dans mon livre sur les espaces affines est horriblement mal fait du coup je n'ai rien retenu. Tout ce qui est équation d'hyperplan, c'était tellement mal expliqué que je n'ai rien appris.

Il reste à changer de livre.