Groupe profini agissant sur ensemble discret

heinz
heinz
dans Algèbre
Soit $G$ un groupe profini et $E$ un ensemble fini muni de la topologie discrète.
Montrer que $G$ agit continûment sur $E$ si et seulement si le noyau de l'action est ouvert dans $G$.

Une des deux implications est triviale. En effet, si $G$ agit continûment sur $E$, alors les stabilisateurs sont ouverts, donc le noyau est ouvert comme intersection finie d'ouverts. Est-ce que quelqu'un peut m'aider à démontrer l'autre implication ?

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Un sous-groupe ouvert est d'indice fini, et le quotient sera discret.
  • heinz
    heinz
    Oui, je sais, mais je ne vois pas trop en quoi cela aide ..? Pourriez-vous élaborer un peu?
  • Chat-maths
    Chat-maths
    Appelons $H$ le noyau de ton action.

    Ton action de $G$ sur $E$ se factorise en une action de $G/H$ sur $E$ via l'application de passage au quotient $G \to G/H$, qui est continue (par définition de la topologie quotient).

    Reste à voir si cette action-là est continue.
  • heinz
    heinz
    Oui, mais dans le cas où $H$ est trivial, on ne peut rien dire. Qu'est-ce qu'on gagne ? Je crains ne pas comprendre..
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Mais $G/H$ est discret, c'est ça qu'on gagne. Si $H$ est trivial, c'est que $G$ était fini et discret de toute façon
  • heinz
    heinz
    Ça y est, je vois ! Merci beaucoup Maxtimax & Chat-maths :)
    Juste pour être sûr, $G/H$ est discret car $G$ est limite projective de ses sous-groupes distingués d'indice fini discrets ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Parce que $H$ est ouvert, et $G\to G/H$ est ouverte, donc $\{H\}$, l'image de $H$, est ouvert.
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