Pgcd de polynômes

Bonjour
J'essaie de montrer que le pgcd (à une unité près) des polynômes $X$ et $Y$ dans l'anneau $K[X,Y]$ est $1$. Cela parait tellement évident, mais je n'y arrive pas.

Supposons que $P$ divise $X$ et $Y$, alors degré partiel de $P$ en $X = 0$ ou $1$, idem pour $Y$.
Donc $P$ s'écrit $P=aX+bY+cXY+d$. Alors comme $P$ divise $X$ et $Y$, $P$ divise $aX+bY+cXY$, donc $P$ divise $d$. Oui mais si $d=0$ ?

Merci d'avance.