Endomorphisme dont une puissance est Id

jp nl · July 2020

Bonjour.

Je coince largement sur cet exercice (je l'écris matriciellement) :
Soit $A$ une matrice carrée telle que $A^k = I_n$
et soit $B=I_n+A+\cdots+A^{k-1}$.
Montrer que
- l'image de $A-I_n$ et le noyau de $B$ sont confondus,
- l'image de $B$ et le noyau de $A-I_n$ sont confondus,
- image et noyau de $B$ sont supplémentaires.

J'ai $(A-I_n).B=B.(A-I_n)=O_n$ et donc des inclusions des images dans les noyaux, mais je suis incapable d'aller plus loin...
Merci pour votre aide.

Edité suite au message de Noobey que je remercie pour sa remarque !

noobey · July 2020

Plutot (A-I)B = 0 non?

Poirot · July 2020

Tu voulais dire $(A-I_n)B=B(A-I_n)=0$ j'imagine.

Pour continuer tu n'as qu'à prendre $x \in \ker A-I_n$ et montrer à la main qu'il est dans l'image de $B$ ! Ensuite tu pourras conclure par égalité des dimensions.

jp nl · July 2020

Merci Poirot.

J'ai essayé ça, je séche.
Pour $X$ tel que $AX=X$, on cherche à la main $Y$ tel que $BY=X$. Mais je dois m'y prendre comme un pied !

Poirot · July 2020

Si $AX = X$ alors $BX = kX$. ;-)

totem · July 2020

Cela porte un nom une matrice dont la puissance k-ième est l'identité ?

Matrice cyclique peut être ? ou identipotente ? :-D

PS : si $k=2$ c'est une matrice involutive ! (:D

Giovva · July 2020

Pour la réciproque, une idée : si $x\in \ker B$, $\ x+Ax+\cdots+A^{k-1}x=0$

On peut ensuite compléter cette somme en faisant apparaître $A^ix-x$ et ajouter autant de $x$.

Mais il y a peut-être plus simple ?

jp nl · July 2020

Merci !
Je n'y étais pas !

Si $X$ est vecteur propre de $A$, alors $X$ est aussi vecteur propre de $P(A)$, pour $P\in K[X]$.
Moi, je dis ça pour avoir l'air savant, mais un peu tard !

Merci !!

Endomorphisme dont une puissance est Id

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